一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法

研究对象 一阶微分方程

dy?f(x,y)与F(x,y,y?)?0 dx的求解问题

1 变量可分离方程 形如

dy?f(x)?(y)的方程，称为变量可分离方程，其中f(x)和?(y)分别是x,y的dx连续函数。

1）变量可分离方程的解法 对于变量分离方程

dy?f(x)?(y)， dx分离变量得

dy?f(x)dx， ?(y)再积分，得

dy??(y)??f(x)dx，

这就是方程的通解。

注意：在变量分离的过程中，必须保证?(y)?0。但如果?(y)?0有根为y?y0，则不难验证y?y0也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。

2）可化为可分离变量的方程

a)齐次方程

令u?dyy?g()， dxxydug(u)?u?，方程可化为分离变量的方程，。 dxxxb)分式线性方程

dya1x?b1y?c1 ?dxa2x?b2y?c2下面分三种情形来讨论： ⅰ）c1?c2?0，这时

dya1x?b1y 为齐次方程。 ?dxa2x?b2yⅱ）

a1a2b1b2?0及c12?c22?0，这时可作变换x???h,y???k，其中h,k是线

性代数方程??a1h?b1k?c1?0d?a1??b1?的唯一解，可将方程化为齐次方程 。 ?d?a2??b2??a2h?b2k?c2?0a1a2b1b2?0及c12?c22?0，这时可设

ⅲ）

a1b1???，方程可化为a2b2dy?(a2x?b2y)?c1， ?dx(a2x?b2y)?c2再令a2x?b2y?u，则方程可进一步化为 分离方程。

?u?c1du，这是一个变量可?a2?b2dxu?c2c)其它类型的方程

利用整体代换的思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。 例如

dy?f(ax?by?c)，令u?ax?by?c； dxyf(xy)dx?xg(xy)dy?0，令u?xy； x2dy?f(xy)，令u?xy； dxdyyy?xf(2)，令u?2。 dxxx2 一阶线性微分方程

dydy?P(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性方程，当Q(x)?0时，?P(x)y称dxdxdy为一阶线性齐次方程，当Q(x)不恒为零时，?P(x)y?Q(x)称为一阶线性非齐次方程。

dx形如

1)一阶线性方程的解法及其性质

a)一阶线性方程的解法

首先求其对应的线性齐次方程y??P(x)y的通解：

利用分离变量法可得其通解为

y?Ce?P(x)dx，

其中C为任意常数，满足初始条件y(x0)?y0的解是

y?y0e?x0P(t)dtx。

其次利用常数变易法求线性非齐次方程的通解：

将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解，此方法称为常数变易法。

可得通解为

y?e?P(x)dx[?Q(x)e??P(x)dxdx?C]。

满足初始条件?(x0)?y0的特解为

y?ex?xP(t)dt0[y0??Q(t)ex0xt??xP(s)ds0dt]。

线性非齐次方程通解的结构为：

线性非齐次方程的通解等于其对应线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和。

b)线性齐次方程解的性质

性质1 必有零解y?0；

性质2 通解等于任意常数C与一个非零特解的乘积；

性质3 若y1,y2均为齐次方程的解，则?y1??y2也是该方程的解，其中?,?为任意常数。

c)线性非齐次方程解的性质

性质1 无零解，所有的解不能构成解空间；

性质2 若y1是齐次方程的解, y2是非齐次方程的解，则y?Cy1?y2也是非齐次方程的解，其中C为任意常数；

性质3 若y1,y2均为非齐次方程的解，则y1?y2相应的齐次方程的解；

性质4（叠加原理）若y1是y??P(x)y?Q1(x)的解, y2是y??P(x)y?Q2(x)的解，

则y1?y2是y??P(x)y?Q1(x)?Q2(x)的解。

2) 可化为一阶线性方程的方程

a) 迫努利(Bernoulli)方程

形如

dy?P(x)y?Q(x)yn的方程（n?0,1是常数），称为伯努利方程，其中P(x)和dxQ(x)为x的连续函数。

迫努利方程的解法

作变换z?y1?n可将原方程变为

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx这是关于未知函数z的线性方程，即可得到它的通解。

b)黎卡提（Riccati）方程

形如

dy?P(x)y2?Q(x)y?R(x)的方程，称为黎卡提方程，其中P(x),Q(x)和R(x)dx为x的连续函数。

黎卡提方程的解法

显然当f(x)?0，这就是迫努利方程。

当f(x)不恒为零时，一般无法对它精确求解，但如果已知它的一个特解y??(x)，则可通过变换y?u??(x)，而得到一个关于u的迫努利方程，从而可求出它的通解，因此，求解黎卡提方程的关键是寻求它的一个特解。

c) 雅克比（Jacobi） 方程

形如(a1?b1x?c1y)(xdy?ydx)?(a2?b2x?c2y)dy?(a3?b3x?c3y)dx?0的方程称为雅克比方程，其中(ai,bi,ci)(i?1,2,3)是常数。

雅可比方程的解法

作变换x?X??,y?Y??，其中?,?是使得XdY?YdX,dY,dX为关于X,Y为齐次的。变换之后，方程变为一阶的，而且XdY?YdX的系数是齐次的，因此

(b1X?c1Y)(XdY?YdX)?{A2?b2X?c2Y??(A1?b1X?c1Y)?A1X}dY?{A3?b3X?c3Y??(A1?b1X?c1Y)?A1Y}dX?0