工程数学--线性代数课后题答案 第五版

量?

(1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? 解 设?是特征向量p所对应的特征值? 则 2??1??0??2???1 (A??E)p?0? 即?5a??3??1???0??

??1b?2?????1??0???????解之得???1? a??3? b?0?

(2)问A能不能相似对角化？并说明理由? 解 由

2???12|A??E|?5?3??3??(??1)3?

?10?2??得A的特征值为?1??2??3?1? 由

?1?12?r?101?A?E??5?23?~?01?1?

??1b?1??000?????知R(A?E)?2? 所以齐次线性方程组(A?E)x?0的基础解系只有一个解向量? 因此A不能相似对角化?

16? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

?2?20? (1)??21?2?;

?0?20??? 解 将所给矩阵记为A? 由

2???20A??E??21???2?(1??)(??4)(??2)?

0?2??得矩阵A的特征值为?1??2? ?2?1? ?3?4? 对于?1??2? 解方程(A?2E)x?0? 即

?4?20??x1???23?2??x??0? ?0?22??x2????3?得特征向量(1? 2? 2)T ? 单位化得p1?(1, 2, 2)T?

333 对于?2?1, 解方程(A?E)x?0? 即

?1?20??x1???20?2??x??0? ?0?2?1??x2????3?得特征向量(2? 1? ?2)T ? 单位化得p2?(2, 1, ?2)T?

333 对于?3?4, 解方程(A?4E)x?0? 即

??2?20??x1???2?3?2??x??0? ?0?2?4??x2????3?得特征向量(2? ?2? 1)T ? 单位化得p3?(2, ?2, 1)T?

333 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(?2? 1? 4)?

?22?2? (2)?25?4??

??2?45??? 解 将所给矩阵记为A? 由

2??2?2A??E?25???4??(??1)2(??10)?

?2?45??得矩阵A的特征值为?1??2?1? ?3?10? 对于?1??2?1? 解方程(A?E)x?0? 即

?12?2??x1??0??24?4??x???0?? ??2?44??x2??0????3???得线性无关特征向量(?2? 1? 0)T和(2? 0? 1)T ? 将它们正交化、单位化得

p1?1(?2, 1, 0)T? p2?1(2, 4, 5)T? 535 对于?3?10, 解方程(A?10E)x?0? 即

??82?2??x1??0??2?5?4??x???0?? ??2?4?5??x2??0????3???得特征向量(?1? ?2? 2)T ? 单位化得p3?1(?1, ?2, 2)T?

3 于是有正交阵P?(p1? p2? p3)? 使P?1AP?diag(1? 1? 10)?

?5??1?2?4? 17? 设矩阵A???2x?2?与????4?相似? 求x? y? 并

??4?21???y????求一个正交阵P? 使P?1AP???

解 已知相似矩阵有相同的特征值? 显然??5? ???4? ??y是?的特征值? 故它们也是A的特征值? 因为???4是A的特征值? 所以

5?2?4|A?4E|??2x?4?2?9(x?4)?0?

?4?25解之得x?4?

已知相似矩阵的行列式相同? 因为

51?2?4|A|??2?4?2??100? |?|??4??20y?

?4?21y所以?20y??100? y?5?

对于??5? 解方程(A?5E)x?0? 得两个线性无关的特征向量(1? 0? ?1)T? (1? ?2? 0)T? 将它们正交化、单位化得

p1?1(1, 0, ?1)T? p2?1(1, ?4, 1)T?

232 对于???4? 解方程(A?4E)x?0? 得特征向量(2? 1? 2)T? 单位化得p3?1(2, 1, 2)T?

3?1??2 于是有正交矩阵P??0?1????221?332?1?4??? 使P?1AP??? 332?21??332? 18? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A. 解 令P?(p1? p2? p3)? 则P?1AP?diag(2? ?2? 1)??? A?P?P?1? 因为