学而思小升初培优六：数论综合 学生版

小升初培优（六）：数论综合

专题回顾练习：

1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道

工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

2甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?

例题解析

枚举法

枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情

况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例1】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。

由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以x2?y2?z2?10。 从而1?x?3，0?y?3，0?z?3。所求三位数必在以下数中：

100101102103110111112120121122130200201202 211212220221300301310不难验证只有100，101两个数符合要求。

【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。

【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合

数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的

范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。

（法二）如果设这12个数分别是a，a?1，a?2，?，a?11，如果a?2能被2到13中任意一个数整除，那么a，a?1，a?2，?，a?11，能分别被2、3、

4,?,13整除，所以，只要取a?13!即可得到符合条件的12个数。

（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法，

设这12个数分别是a?5，a?4，?，a?4，a?5，a?6。所以只要使a能被2到6的所有整数整除，并且保证a?1和a?1都是合数即可，通过试验可得到a?120即是符合条件的值。

【例3】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着\，\，\。从中抽出一张、两张、

三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）

【分析】 因为这三个数字的和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数

都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为1?2?3，根据同样的道理，用1，2组成的两位数也能被3整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有13，31，23，32这四个了。其中13，31，23都是素数。最后一位数素数只有2，3。

【拓展练习】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7和5，c的十位是1,如果它们满

足等式ab?c?2005，则a?b?c?______。

代数表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1. 十进制表示形式：N?an10n?an?110n?1???a0100； 2. 3. 4. 5. 6.

【例4】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整

数的平方．

二进制表示形式：N?an2n?an?12n?1???a020； 带余形式：a?bq?r；（奇数可以表示为2n?1，偶数表示为2n，其中n为整数）

aka2标准分解式：p1a1p2； ?pk（其中t为奇数）。 2的乘方与奇数之积式：n?2mt；

最大公约数与系数之积式：m?dm1，n?dn1，其中?m,n??d，?m1,n1??1。

【分析】设所求的四位数为x?aabb，则x?1000a?100a?10b?b?11?100a?b?，其中

0?a?9，0?b?9。可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a?b?99a??a?b?能被11整除，于是a?b能被11整除．但0?a?b?18，以a?b?11．于是x?112??9a?1?，由此可知9a?1是某个自然数的平方．对a?1，

2，?，9逐一检验，易知仅a?7时，9a?1为平方数，故所求的四位数是7744?882。

【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，

则满足条件的两位数共有______个。

【例5】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假

定划掉的两个数字中的一个非零）。

【分析】设 n2满足条件，令n2?100a2?b，其中0?b?100。于是n?100，即n?10a?1。因此b?n2?100a2?20a?1，由此得20a?1?100，所以a?4。 经验算，仅当a?4时，n?41满足条件。若n?41则n2?402?422?402?100。因此，满足条件的最大的完全平方数为412?1681。

【例6】 从自然数1，2，3，?，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三

个数之和能被18整除？

【分析】设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则a?b?c?18m，a?b?d?18n，

其中m，n是自然数。于是c?d?18?m?n?。上式说明所取出的数中任意2个数

之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则a?18a1?r，b?18b1?r，c?18c1?r，其中a1，b1，c1是整数。于是a?b?c?18?a1?b1?c1??3r。因为18|?a?b?c?，所以18|3r，即6|r，推知r?0，6，12。因为1000?55?18?10，所以，从1，2，?，1000中可取6，24，42，

?，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。

【例7】 如果?a?2b?被5除余数为2，?3a?b?被5除所得的余数为3，求证：?a?b?能被5整除。（a、b都是自然数）

【分析】（法一）设a?2b?5k?2，3a?b?5l?4，

10l?5k?8?a???a?2b?5k?215l?10k?5?7 解方程组?得到?，所以a?b?能被5整

3?15k?5l3a?b?5l?37??b??7?除。

（法二）由题目条件2?3a?b??3?a?2b?能被5整除，即3a?8b能被5整除，继而

得到3a?3b能被5整除，所以a?b能被5整除。

【拓展练习1】如果?2a?3b?是5的倍数,证明：2b?3a也是5的倍数。（a、b都是自然数）

【拓展练习2】如果?3a?b?是7的倍数，求证?2b?a?也是7的倍数。（a、b都是自然数）

【拓展练习3】如果a?b?c是5的倍数，2a?3b?4c也是5的倍数，求证a?c是5的倍数。

（a、b、c都是自然数）

【例8】 有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(?1)与余数(?0)之和都相等，这

样的数最小可能是多少。

?A?15?a......Xa(?X?a)?A?15a?(X?a)?14a?X?【分析】?A?17?b......Xb(?X?b)?A?17b?(X?b)?16b?X

??A?19?c......Xc(?X?c)?A?19c?(X?c)?18c?X14a?16b?18c?72|a?a至少为72，A?15a?Xa?15?72?Xa?1080?Xa 14a?16b?18c?63|b?b至少为63，A?17b?Xb?17?63?Xb?1071?Xb 14a?16b?18c?56|c?c至少为56，A?19c?Xc?19?56?Xc?1054?Xc

最小为1081。

如何计算一个自然数的约数个数：

aka2a 将该自然数用标准分解式表达：p1a1p2； ?pkb c d

bkb2将该自然数的约数用标准分解式表达：p1b1p2，则b1?a1，b2?a2，?，bn?an； ?pk对于任意的bi可以取值0到ai这?ai?1?个整数；

根据乘法原理不同的约数有(a1?1)(a2?1)...(ak?1)个。

【例9】 在1到600中，恰好有3个约数的数有几个？

【分析】3只能表示为?2?1?，所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数

有2个，注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方，2，3，5，7，11，13，17，19，23这9个数的平方数在1到600之间，共有9个符合要求。

【拓展练习】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

【例10】 两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16?52?32，16就

是一个“智慧数”．在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。

【分析】显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k?1??k?1??k2，都是“智慧数”。

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