江苏省通州高级中学2013-2014高三数学期中考试试卷

江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试

高三数学试卷

一、填空题（本大题满分70分）

i?i2013表示的点所在的象限是_ ▲__ . 1?i2、已知集合A＝{x｜x＞2，或x＜－1}，B＝{x｜a?x?b}，若AB?R，

bAB={x｜2?x?4}，则＝_ ▲__ .

a1、在复平面内，复数z?3、一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是_ ▲__ .

4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 结果为 ▲ _ ．

5． m，n是不同的直线，?，?是不同的平面，则下列正确命题

的序号是 ▲_ ． 开始 x ←1, y←1 z←x + y z?20 是 否 输出yxm//?， 则 n??；②.若m//n，则 n//?；m//n，m??， ①.若

x←y y←z 结束 ?//?； ④.若???．n??，若 则 ，则 m//?，m//?，n?? ③.

x2y26．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的斜率为

ab（第4题图）

2，且右焦点与抛物线y2?43x的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲_ ．

7、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 ▲_ . 8、已知sin??1??cos?，且??(0,)，则22cos2?sin(??)4?的值为__ ▲____．

9、已知函数f(x)?lnx（a?R），若任意x1、x2?[2,3]且x2?x1，t=则实数t的取值范围_ ▲__ .

f(x2)?f(x1),

x2?x110、在?ABC中，已知AB?AC?9，sinB?cosA?sinC，S?ABC?6，P为线段AB上

的点，且CP?x?CA|CA|?y?CB|CB|，则xy的最大值为 ▲_ ．

11、在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC、△BDC、△ABC的内切圆半径分别为r1,r2,r，则有如下的等式恒成立：

ADBDAB2CD．在三棱锥P-ABC中D???r1r2rh位AB上任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为r1,r2,r，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_▲__ . 12．四棱锥P?ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，

PA?ABCD，PA?2，则该球的体积为 ▲_ ．

143

13、已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组

34－x3－y不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是_ ▲__ . 14、各项均为正数的等比数列{an}中，a1?1a1?a2?...?am?8m(m?2,m?N?)，若从中8抽掉一项后，余下的m-1项之积为(42)m?1，则被抽掉的是第 ▲_ 项.

二、解答题（本大题满分90分）

15、在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， AB?AC＝8，∠BAC＝θ，a＝4，

(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；

2π2

(2)求函数f(θ)＝23sin(＋θ)＋2cosθ－3的最值．

4

AB?BC?2，过16、在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，

A1、C1、B三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何

体ABCD?AC11D1，且这个几何体的体积为（1）求证：EF//平面A1BC1； （2）求A1A的长；

D E A

B

C

40. 3A1

D1

C1

F

（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.

17．提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流 速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足

v(x)?40?k．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0

250?x千米/小时．

（Ⅰ）当0

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位： 辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据5?2.236）

18、函数f(x)?ax?b?a(a?R,a?0)在x?3处的切线方程与直线(2a?1)x?2y?3?0x?1平行；

（1）若g(x)=f(x?1)，求证：曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x?0和直线y?ax围成的三角形面积为定值；

（2）是否存在实数m,k，使得f(x)?f(m?x)?k对于定义域内的任意x都成立； （3）若f(3)?3，方程f(x)?t(x2?2x?3)x有三个解，求实数t的取值范围．

x2y2219、如图，已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)过点(1，)，离心率

2ab为

2，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴2上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.

(ⅰ)证明：

13?＝2. k1k2(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

20．设各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn?(an?1)2（n?N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}的通项公式为bn?成等差数列，求t和m的值；

（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为{an}中的三项an1，an2，an3．

*an（t?N*），若b1，b2，bm（m?3,m?N*）an?t