第七单元 最大公因数与最小公倍数

第七单元 最大公因数与最小公倍数（一）

例1：求45、105的最大公因数和最小公倍数。

练习1、求下面几组数的最大公因数和最小公倍数： 120和45，25和125，17和91，39和26。

算一算每组两个数的乘积和最大公因数与最小公倍数的乘积。

例2： 已知a=30，b=440，c=550，求（a，b，c）和[a，b，c]分别是多少？

练习2、求下面几组数的最大公因数和最小公倍数。

4、5和6； 8，12和36； 8，9和10

练习3、一盒铅笔，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这盒铅笔最少有多少支？

练习4、甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数应该是多少？

例3：将一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，当正方体的棱长最大是多少时，大长方体木料无剩余？这时共截出了几个小正方体？

例4：长100厘米的木棍，从一端开始每3cm染一个红点，每5cm染一个蓝点。然后将染有点的地方锯开，木棍共锯成多少段？

练习5.一张长方形的纸，长为96厘米，宽为60厘米，把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余，问至少可以裁多少张？

练习6、三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么每小段长多少厘米？一共可截成多少段？

例5：两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是120，求这两个数

练习7、两个小于150的数的积是2028，它们的最大公因数是13，求这两个数。

练习8. 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c？

练习9、如果甲乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？ 练习10.加工某种零件，需要三道工序，第一道工序的工人，每人每小时可完成48个，第二道工序的工人，每人每小时可以完成32个，第三道工序的工人，每人每小时可以完成28个，问三道工序至少各要多少工人时，搭配才算最合适？ 练习11、大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？

第八单元 最大公因数与最小公倍数（一）

【走进乐园】

放学的路上，五年级一班军体委员小明兴致勃勃地和妈妈谈起了排练团体操的事情。

请你通过小明和妈妈的对话，想一想妈妈是怎样很快分析出参加团体操人数的？

出10、15、18、24的最小公倍数。这一单元我们就一起来学习最大公因数与最小公倍数问题，通过学习要达到如下目标：

1．会用分解质因数的方法求几个数的最大公因数与最小公倍数。

2．掌握最大公因数、最小公倍数的性质。

3．能应用求最大公因数、最小公倍数的方法和最大公因数、最小公倍数的性质解决简单的实际问题。

【基础知识】

例1：求45、105的最大公因数和最小公倍数。

分析与解：从字面上理解，最大公因数是几个数公有的因数中最大的一个；最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的一个。我们可以用枚举的方法，写出几个数的所有因数和部分倍数，找到它们的最大公因数和最小公倍数。但是，这种方法有些麻烦，我们可以用短除法和分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。

方法一：短除法。

原来每个班的人数在40——50之间，8个班的人数就在320

到400人之间。

队伍变成10行、15 行、18行、24行都是整数行，即总人数应是10、15、18、24的公倍数，要求几个数的公倍数先求这几个数的最小公倍数。

10=2 × 5 15= 3×5 18=2×32

24=2×3

因为10、15、18、24的最小公倍数是 2×32×5=360，且五年级的总人数恰好在320到400人之间，所以五年级应有360人。

妈妈之所以可以很快地说出五年级的总人数，是因为它能算

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45和105的最大公因数是：3×5=15，45和105的最小公倍数是：3×5×3×7=315。也可以这样表示：（45、105）=3×5=15，[45、105]=3×5×3×7=315。

方法二：分解质因数法。 观察短除式可以发现：每次的除数都是45和105的公有质因数，最后得到的两个商分别是45和105独有的质因数，即3是45独有的质因数，7是105独有的质因数。这样，最大公因数和最小公倍数的概念还可以换一个角度来理解：最大公因数是几个数公有质因数的乘积；最小公倍数是几个数公有质因数与所有独

有质因数的乘积。所以，求几个数的最大公因数和最小公倍数也可以用分解质因数的方法来解决。

观察分解质因数的结果容易看出:45和105的公有质因数是3和5，45的独有质因数是3，105的独有质因数是7。所以，（45、105）=3×5=15；[45、105]=3×5×3×7=315。

例2： 已知a=30，b=440，c=550，求（a，b，c）和[a，b，c]分别是多少？

分析与解：利用例1的分析结果，要求（a，b，c）和[a，b，c]可以先将a、b、c分解质因数。

a=30=2×3×5

b=440=2×2×2×5×11 c=550=2×5×5×11

a、b、c的公有质因数是2和5，所以（a，b，c）=2×5=10；由于三个数两两之间又有公有质因数和独有质因数，所以不容易用“公有质因数与独有质因数乘积”的方法求a、b、c的最小公倍数。我们可以换一个角度来考虑：a、b、c的质因数共有2、3、5、11四种，其中b含有2的个数最多，有3个2，最小公倍数中必须有3个2。同样道理，最小公倍数中必须有1个3、2个5、1个11。所以，[a，b，c]=2×2×2×3×5×5×11=6600。

通过利1的分析，我们不仅对最大公因数、最小公倍数的概念有了新的理解：最大公因数是几个数公有质因数的乘积，最小公倍数是几个数公有质因数与所有独有质因数的乘积。还研究出了分解质因数求几个数最大公因数和最小公倍数的方法；通过例2的分析，我们发现用分解质因数的方法求多个数多最大公因数非常方便，求最小公倍数时只需直接考虑有几种不同质因数、每

种质因数最多含有几个。关于最大公因数和最小公倍数还有一些常用的性质，希望同学们记住。

1.两个数的公因数是这两个数最大公因数的因数。例如：12和18的全部公因数有1、2、3、6，是最大公因数是6的全部约数。因此，要求两个数的公因数，可以先求这两个数最大公因数。

2.两个数的公倍数是这两个数最小公倍数的倍数。例如：12和18的公倍数有36、72、108??，它们都是最小公倍数36的倍数。因此，要求两个数的公倍数，可以先求这两个数最小公倍数。

3.两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个自然数的积。即：（a、b）×[a、b]=a×b。

例如：（12,18）=6， [12，18]=36

（12,18）×[12，18]=6×36=216 12×18=216

练一练

1．一盒铅笔，可以平均分给2、3、4、5、6个小朋友，这盒铅笔最少有多少支？

2．甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数应该是多少？

【综合训练】

例3：将一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，当正方体的棱长最大是多少时，大长方体木料无剩余？这时共截出了几个小正方体？

分析与解：为了大长方体木料截完后无剩余，正方体的棱长应分别整除大长方体的长、宽、高，即正方体的棱长应为357、105、84的公因数。要使正方体的棱长最大，就是使正方体的棱长等于357、105、84的最大公因数。所以，要想解决问题需要先求出 357、105和84的最大公因数。

84=2×2×3×7 105=3×5×7 357=3×7×17

（357、105、84）=3×7=21

所以，当正方体的棱长最大是21厘米时，大长方体木料无剩余。

84÷21=4 105÷21=5 357÷21=17

所以，这时共截出正方体4×5×17=340个。

例4：长100厘米的木棍，从一端开始每3cm染一个红点，每5cm染一个蓝点。然后将染有点的地方锯开，木棍共锯成多少段？

分析与解：为了便于分析，我们把100厘米长的木棍看作标有刻度1、2、3、?、100的尺子。根据题意，染红点处标的数是3的倍数，染蓝点处标的数是5的倍数，红点和蓝点重合之处标的数既是3的倍数又是5的倍数。

木棍上染有红点的数有3的1倍、3的2倍、3的3倍??3

的33倍共33个；

木棍上染有蓝点的数有5的1倍、5的2倍、5的3倍??5的19倍共19个；

红点与蓝点重合的数有15的1倍、15的2倍、15的3倍??5的6倍共6个；

木棍上的点数共有33＋19－6=46（个）， 所以，木棍被锯成的段数为46＋1=47（段）。

例3、例4是应用求最大公因数、最小公倍数的方法解决简单的实际问题，解决这类问题的关键是：准确理解题意，把实际问题转化为数学问题。例3通过分析题意发现正方体的棱长是原长方体长、宽、高的最大公因数，把实际问题转化成了求最大公因数问题；例4把木棍看作一把标有刻度数的尺子，结合题意很容易想到：求“红点”数就是求100以内3的倍数有多少个，求蓝点数就是求100以内5的倍数有多少个，求重合的点数就是求100以内3和5的公倍数有几个。这样，实际问题就转化成了求100以内3或5的倍数有多少个的数学问题。

练一练

3.一张长方形的纸，长为96厘米，宽为60厘米，把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余，问至少可以裁多少张？

4.三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么每小段长多少