第22届全国中学生物理竞赛复赛答案

式得

F?BIa0?234k2?0πa0(a2?a1)2?2a12a2R??0??t?

(12)

由（12）式可见，张力F随时间t线性减小．

六、如图所示，t时刻汽车B位于B?t?处，距O点的距离为vBt．此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的．汽车A发出此笛声时位于A?t1?处，距O点的距离为vAt1．此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(t–t1)，由几何关系可知 (vBt)2??vAt1??[u(t?t1)]2 (1)

2A(t1) ?A(t1) O A(t) vA B(t) ?B(t) vB 即

22222(u2?v2A)t1?2utt1?(u?vB)t?0

这是以t1为变量的一元二次方程，其解为

?u2?u2(v2?v2)?v2v2ABABt1????u2?v2A???t ???由于u2?u2?v2A，但t1< t，所以上式中只能取减号

t1?2222u2?u2(vA?vB)?vAvBu22?vAt (2)

令

有

t?t1?22222u2(vA?vB)?vAvB?vA2u2?vAt (3)

222u2(v2A?vB)?vAvB?k

(4)

2k?vAu2?kt1?2t， t-t1?2t 22u?vAu?vA (5)

在t1时刻，位于A?t1?处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）A?t1?B?t?在t时刻传到B?t?处，以?A?t1?、?B?t?分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有

vAt1vA(u2?k) co? sA?t1???2u?t-t1?u(k?vA)(6)

vBtvB(u2?v2A) cos?B?t???2u?t-t1?u(k?vA) (7)

令??表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知

??u?vBcos?B?t?u?vAcos?A?t1??0 (8)

由（6）、（7）、（8）式，得

2222?222u2??u2v2A?vB?vAvB?vA??vBu?vA?????0

2222222u?vAuvA?vB?vAvB

????????(9)

七、解法一：

对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离

lC?2l 31lB?l

3 （1）

故A、B到质心C的距离分别为

2lA?l3O （2）

k A 若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、弹簧可以分成两个弹簧CA和CB．设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自然长度为lB0，

x l C B的数为

B 劲度

系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点．若连接A、B的自然长度为l0，根据题意有

k?l?l0??2mg

（3）

由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为

2lA0?l031lB0?l0

3（4）

当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA和CB

的长度分别为

2lA?l31lB?l

3（5）

弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为

2fA?kA?lA?lA0??kA?l?l0?

3

1fB?kB?lB?lB0??kB?l?l0?

3但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有 由此得

fA?fB?f?k?l?l0?

3kA?k2kB?3k

（6）

相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即xA?0??0；B的坐标xB?0??l．由（1）式，可知此时质心C的坐标为

2xC?0??l

3（7）

在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力?m?2m?g．故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标

xC(t)?xC(0)?1221gt?l?gt2 232（8）

由于质心作加速运动，质心系是非惯性系．在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用．若在质心系中取一坐标轴O?x?，原点O?与质心C固连，取竖直向下为O?x?轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为x?B时，弹簧CB作用于B的弹性力

fB??kB?x?B?lB0?

当x?方向竖直向上．此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上．作B?lB0时，用于B的合力

由（3）、（4）式得 令 有

FB??kB?x?B?lB0??mg?mg

?1?2mg???FB??kB?x??B3?l?k???

????（9）

2mg?1?XB?x??l??? B3?k?（10）

FB??kBXB

（11）

当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标

2mg?1?x??l??? B03?k?（12）

XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率

离开平衡位置的位移

?B?kB3k ?mB2m（13）

XB?ABcos??Bt??B?

（14）

AB为振幅，?B为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置x?B0的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅

由（5）式、（12）式得

AB?lB?x?B0

2mg2mg11 AB?l?(l?)?33k3k（15）

因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故 由此得

?B?0

XB??3k?2mg cos?t???3k?2m?（16）

由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标

在地面参考系的坐标 得

?3k?2mg2mg1? xB?t??(l?)?cos?t???3k3k2m??（17）

xB?t??xC?t??x?B?t?

（18）

2mg1xB?t??l?gt2?23k??3k??t??1?cos??2m??

??????（19）