大学物理简明教程习题解答第7章 2010.9

第7章 恒定磁场

7-1在闪电中电流可高达2?104A，若将闪电电流视作长直电流，问距闪电电流1.0m处的磁感应强度有多大？

解 根据安培环路定理 ?BL与长直电流相距r处的磁感应强度为

?dl??0?Iii，

2πrB??0I

解得相距1.0m处的磁感应强度的大小

B??0I2πr?4?10?3 T

7-2 如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放置，相距d=2.0?10-2m。设两根导线通过的电流均为I=10A，求两导线垂直距离中点P处的磁感应强度。

解 两根载有相同电流的无限长直导线在P处的磁感应强度的大小相同，由安培环路定理 ?BL 得

2π?dl??0?Iii

题7-2图

?2?10?4d2B??0I

TB1?B2??0I2πd/2

B1和B2的方向分别指向x轴的负方向和z轴的正方向。

由磁场叠加原理，P处磁感应强度的大小为

BP?B1?B2?22?0I2πd2?2.8?10?4 T

BP的方向在x-z平面内，与z轴正方向和x轴负方向均成45°夹角。

7-3 如图所示，一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的形状。求使o点的磁感应强度为零的半径a和b的比值。

解 该载流系统由三部分组成，o点的磁感应强度为载有相同电流的无限长直导线及两个半径分别为a和b的圆环分别在该处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负。 由安培环路定理 ?BL无限长载流直导线在o点的磁感应强度为

?dl??0?Iii

题7-3图

?0I2πb

?2πbB直线??0I，B直线?

?π2根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在o点的磁感应强度dB对两载流圆环分别积分，有 B大环l?0Idlsin?4π2πbr2，其中??，

??4π0?0Idlr2???0Idl4πb2?0I2b0

由磁场叠加原理

lB小环???0Idl4πr22πa?0??0Idl4πa2??0I2a

0B?B直线?B大环?B小环

?0?ab?0I2πbππ?1??0I2b??0I2a

解得

?

7-4 如图所示，两导线沿半径方向引到铁环上a、b两点，并与远处的电源相连，已知环的粗细均匀，求环中心o的磁感应强度。 解 设aeb长为l1，ab长为l2。并设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负， 因为Uaeb?Uab，即I1?l1S?I2?l2S，所以I1l1?I2l2。

?

题7-4图

?0Idlsin?4π?r2根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在圆心o点的磁感应强度dB对两载流圆弧分别积分，有 Baeb

?，式中?

?π2。

??aebdB??l1?0I1dl4πr2?0I1l14πr20Bab?abdB???l2?0I2dl4πr?2??0I2l24πr20由磁场叠加原理，o点的磁感应强度的大小为B

??0I1l14?r2?0I2l24?r2?04πr2(I1l1?I2l2)?0

7-5 一根无限长直导线通有电流I=4A，中部被弯成半圆弧形，半径r=10cm。求圆弧中心的磁感应强度。 解 无限长直导线的直线部分在O点产生的磁感应强度为0，所以 O点的磁场仅由载流半圆弧激发。

根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在O点的磁感应强度dB故有 B方向垂直纸面向内。

7-6 将一段导线弯成半径分别为R1和R2的同心1/4圆弧，并与两段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流I，方向如图所示。求圆心o处的磁感应强度B的大小和方向。

解 两段径向直线段在o点不产生磁场，所以只需将大、小两个圆弧在o点产生的磁感应强度进行叠加。

根据毕奥–萨伐尔定律，电流元Idl在 o点的磁感应强度

dB?πr

题7-5图

??0Idlsin?4π?r2，式中??5?π2，

??dB???0Idl4πr2?0I4r?1.26?10 T0

题7-6图

?0Idlsin?4πr2 式中??π2

πR1对两圆弧分别积分，有 B1??dB?L1?2?0Idl4πR12??0I8R1，方向垂直纸面向外。

0πR2

B2??L2dB??2?0Idl4πR22??0I8R2，方向垂直纸面向里。

1?0I42R11?0I42R20两同心1/4圆弧在o点产生的总磁感应强度B方向垂直纸面向外。

?B1?B2????0I8(1R1?1R2)，

7-7 如图所示，一根长为L的导线，载有电流I。试求：（1）该导线在其中垂线上与导线相距为L/2的P点处所产生的磁场的磁感应强度；（2）在P点正上方相距L/2处的Q点的磁感应强度。 解 利用长直载流导线的磁场公式B（1）对于P点，cos?1?cosπ4?22??0I4πa(cos?1?cos?2)3π4(求解。

2222，cos?2?cos??22，a)??L2，

题7-7图

P点的磁感应强度 方向垂直纸面向里。 （2）对于Q点， cos?1?LL?(L22BP??0I4πa?2?0I2πL?4)25，cos?2?0I4πa?cosπ2?0，a?L2，

Q点的磁感应强度 方向垂直纸面向里。

BQ?(25?0)??0I5πL

7-8 一均匀磁场的磁感应强度B=2.0T，方向沿x轴正向,如图所示。试求：（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。

解 （1）根据磁通量定义 Φ?BScos? 对于abcd面，??π， 则通过该面的磁通量

Φabcd?BSabcdcosπ

题7-8图

（2）对于befc面，??π2??0.24 T

,

Φbefc?BScosπ2?0则通过该面的磁通量 （3）对于aefd面，Saefd

befc

?0.24 Tcos??Sabcd，则 Φaefd?BSaefdcos??BSabcd

7-9 一个非均匀磁场磁感应强度的变化规律为B=ky（k为常量），方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为a的正方形线框，其位置如图所示。求通过线框的磁通量。

解 在线框内坐标为y处取一长为a宽为dy的矩形面积元dS，在dS中磁场可认为是均匀的， 则通过dS的磁通量 dΦ?BdS?kyady 对正方形线框平面积分， 得

7-10 两根平行的长直导线相隔0.75cm，且都垂直于图示的平面。导线1载有6.5A流入页面的电流。要使图中P点的合成磁场为零，试确定导线2中电流的大小和方向。

解 根据安培环路定理， ?BL对长直导线1，有 对长直导线2，有

?dl??0?Iii

aΦ??dΦ??kyady?12ka3

题7-9图

0

?0I12πl1?2πl1B1??0I1，B1?

?0I12πl1?2πl2B2??0I2，B2?0I22πl2

题7-10图

?0I22πl2两长直导线在P点产生的磁感应强度的大小相等，即B1由此解得

I2?l2l1?B2，于是有，

，

I1?4.33 A为使P点的合成磁场为零，则导线1和导线2中电流的流向必需相反，故长直导线2中电流方向垂直纸面向外。

7-11 同轴长电缆由内、外两导体构成，内导体是半径为a的实心圆柱，外导体是内外半径分别为b和c的圆筒。在两导体中，大小相等、方向相反的电流I通过。试求磁感应强度B的分布：（1）圆柱导体内离轴r处（rc）。 解 （1）r

题7-11图

?a?r2?iIi，在r

于是有 （2）a

?iIi，在a

于是有

B2?2πr??0I，得B2??0I2πr