2021高考数学一轮复习第8章立体几何初步规范答题系列3高考中的立体几何问题教学案文

规范答题系列3 高考中的立体几何问题

(对应学生用书第142页)

[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，立体几何解答题主要出现在18题或19题的位置上，解答题一般有两个问题，第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系，第二个问题，有三个热点题型：一是考查空间几何体的体积；二是考查点面距离；三是与平行、垂直有关的存在性问题．

[典例示范] (本题满分12分)

(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.

[信息提取] 看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与BE有关的垂直关系；

看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高． [规范解答](1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1

1分

②

①

BE平面ABB1A1，故B1C1⊥BE. 2分

又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， 所以BE⊥平面EB1C1. (2)由(1)知∠BEB1＝90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝ 如图，作EF⊥BB1，垂足为F， 则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 所以四棱锥E-BB1C1C的体积

10分 7分 6.8分

4分 5分 6分

V＝×3×6×3＝18.12分

[易错防范]

易错点 证明时书写步骤不规范，缺少BE平面防范措施 严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写 在计算过程中，需要用到的结论，都需要通过推理得到 - 1 -

13

ABB1A1及B1C1∩EC1＝C1等必要条件 得不到AE＝AB＝3这个结论，而是凭感觉直接使用这个结论

[通性通法] 证明线面垂直的方法较多，常用的有：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理等．体积的计算是高考的重点与热点，其方法灵活多样，而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法．

[规范特训] (2019·石家庄模拟)如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比．

[解](1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4， 由余弦定理可得PC＝23， ∴PC＋BC＝PB，∴PC⊥BC， 又PC⊥AB，AB∩BC＝B， ∴PC⊥平面ABC， ∵PC平面PAC，

2

2

2

∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)设三棱锥F-ACE的高为h1，三棱锥P-ABC的高为h， 1

则VF-ACE＝×S△ACE×h1

3121＝×S△ABC××h× 33211＝×S△ABC×h× 331

＝×VP-ABC. 3

∴三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比为1∶2.

- 2 -