平面向量复习讲义

（答：a?b）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)

（答：B）；

（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____

（答：a?b）；

（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的

值是___

（答：0）

五．平面向量的坐标运算：

若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) (2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2) (3)数乘：??a＝(??x1，??y1)

（4）向量的坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

（5）中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为( （6）向量相等：:若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

??1???1???????????????123212342343x1?x2y1?y2,) 22a?b?x?x2y?y2

（7）向量共线或平行：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a//b，则x1y2?x2y1.

题型一 求向量的坐标

【例题1】如图所示，若OA?2,OA与x轴正方向夹角为30°，求向量OA的坐标.

y

??A

x

O 【例题2】?ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8)，D为BC的中点，求向量

5

???AB,AD,BC.

题型二 由向量相等求参数的值

【例题3】已知向量a?(x?y,xy),b?(5,?2)，若a?b，求x,y的值.

题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用

?22???1?3? 【例题4】已知平面向量a?(1,1),b?(1,?1)，则向量a?b=（ ）

22?? A. (2,1) B. (?2,1) C. (1,2) D. (?1,2)

2. 利用向量坐标运算求点的坐标

【例题5】已知A(?2,4),B(3,?1),C(?3,?4)且CM?3CA,CN?2CB,求M,N的坐标.

题型四 平面向量平行的坐标运算

【例题6】(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

????（答：2）；

（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______

（答：4）；

（3）设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

（答：－2或11）

6

六．平面向量的数量积

（1）两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：1．当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

2．当??180时，ａ与ｂ反向；

3．当??90时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

4．注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?

（2）平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量abcos?叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=abcos?，（０≤θ≤π）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

其中?是a与b的夹角，acos?(bcos?)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数量积为0. （3）两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量， 1．a?b ? a?b = 0

2．当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =

a?b

|a||b| b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为 3．当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；钝角时，a?b＜0，且a、当?为直角时，a?b=0.

（4）向量的投影： “投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|.

7

向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. （5）向量的运算律：

??2．结合律：a?b?c??a?b??c,a?b?c?a??b?c?，??a??b???a?b??a???b?； 3．分配律：?????a??a??a,??a?b???a??b，?a?b??c?a?c?b?c。

1．交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a； 如

下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)?|a|2

2?????????????????2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；

???2????22⑦

a?ba2?ba；⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是______

（答：①⑥⑨）

2222（6）向量的数量积的坐标表示、模、夹角：

1．数量积：a·b＝x1x2＋y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 2．向量垂直：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0

3．向量的模长：若a＝(x，y)，则|a|?x?y,a?|a|2?x2?y2

2224．向量的夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos?a,b??a?b?|a||b|x1x2?y1y2x?y2121?x?y2222

5．两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|? 6．a在b方向上的正射影的数量为|a|cos?a,b??(x1?x2)2?(y1?y2)2

a?bx1x2?y1y2 ?22|b|x2?y2

课堂练习：

1.已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______

（答：

2.已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______

（答：???????????????????12） 541或??0且??）； 33??????133.已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则OF,FQ夹角?的取值范围是

22_________

（答：(4.△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________

（答：－9）；

8

???????????,)）； 43

5.已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为6.已知a?2,b?5,ab??3，则a?b等于____

1212?4，则k等于____

（答：1）；

（答：23）；

7.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____ （答：13）； 8.已知

a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____

七．向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0?|a?b|?|a|?|b| （2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当a、 b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|；当a、?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似).

（3）在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为

y?2y?3?x?x2?x3y?G?1,1?。如

33??若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

24（答：(?,)）；

33②PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为

3?ABC的重心；

③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

④向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直

|AB||AC|线)；

⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

?，（3）若P分有向线段PP点M为平面内的任一点，则MP?MP1??MP2，12所成的比为

1??MP1?MP2； 特别地P为PP12的中点?MP?2（4）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1.

如

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______

（答：直线AB）

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