第七章线性空间与线性变换

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运算，即对于V中任一元素?与P中任一数k，在V中有唯一的元素k?与它们对应，称为k与?的数乘；该数乘运算满足：

(5) (向量加法分配律) k(???)?k??k? (6) (数量加法分配律) (k?l)??k??l? (7) (结合律) k(l?)?(kl)? (1.2) (8) (单位元) 1x?x

以上规律中?,?,?是V中的任意元素，k,l是P中的任意数。则称V为数域P上的线性空间；满足上述规律的加法和数乘运算统称为线性运算。线性空间V的元素也可以称为向量，此时它的含义要比第三章中的向量含义更广泛。

下面列举一些线性空间的例子。

例1 全体n维实向量依照向量的加法和向量与实数的数乘构成实线性空间，称为n维向量空间，记为R。

例2 设Rm?nn为所有m?n阶实矩阵构成的集合，对于矩阵的加法运算及任意实数与矩

阵的数乘运算，构成实数域上的线性空间，称为矩阵空间。

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例3 设R[x]n表示实数域R上次数小于n的x多项式集合，在通常意义的多项式加法和实数与多项式乘法的运算下，构成一个实数域R上的线性空间。

例4 设Am?n为实矩阵，记

N(A)?xAx?0, x?Rn (1.3)

则N(A)构成实数域R上的线性空间，称为齐次线性方程组Ax?0的解空间，也称为矩阵A的核或零空间。

例5 设Am?n为实矩阵，记

??R(A)?yy?Ax, x?Cn (1.4)

则R(A)构成实数域R上的线性空间，称为矩阵A的值域空间。

例6 全体实函数，按照函数加法和函数与实数的乘法，构成一个实数域上的线性空间。 由定义可以推出线性空间的一些简单性质： 性质1 线性空间V的零元素是唯一的。

证 设01和02是V的两个零元素，即对任何??V，均有

??01?01?02?02?01?02

性质2 线性空间V中任一元素的负元素是唯一的。

证 设V的元素?有两个负元素?和?，即????0，????0。于是

????0???(???)?(???)???0????

由于负向量的唯一性，我们可以将?的负向量记为??。

性质3 0??0，k0?0，(?1)????。

证 因为??0??1??0??(1?0)??1???，所以0??0； 而??(?1)??1??(?1)??(1?(?1))??0??0，于是(?1)????；

又由于，k0?k(??(?1)?)?k??(?k)??(k?(?k))??0??0，即k0?0。

性质4 若k??0，则有k?0或者??0。 证 假设k?0，则k(k?)?k0?0；

另一方面，有k(k?)?(kk)??1???，即有??0。

在例4中，给出了线性方程组Ax?0的所有解构成的线性空间，显然这个线性空间是

?1?1?1?1Rn的一个子集合，一般地可以引入子空间的概念。

定义3：设V是数域P上的线性子空间，W是V的一个非空子集，若W对于V上的加法和数乘运算，也构成一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间(简称子空间)。

每个非零线性空间V至少有两个线性子空间，一个是它自身V，另一个是仅由零向量构成的子集合，称为零子空间。

一个非空子集满足什么条件才可构成子空间？W既然是V的子集合，那么W中的元素满足定义2中的条件(1)、(2)和(5)~(8)是显然的，因此只要W满足条件(3)、(4)同时对线性运算封闭即可。于是我们有

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定理1 线性空间V的非空子集W构成V的一个子空间的充分必要条件是：W对于V上的线性运算封闭。

例7 设线性空间R[x]n中次数小于r(r?n)的多项式全体，构成R[x]n的一个线性子空间。

例8 设?1,?2,?,?s是线性空间V中一组向量，其所有可能的线性组合的集合

S?Span??1,?2,?,?s???k1?1?k2?2???ks?ski?F? (1.5)

非空，并且对线性运算是封闭的，因此构成的V的线性子空间

S?Span??1,?2,?,?s? (1.6)

称为是由向量组?1,?2,?,?s生成的生成子空间。

§2 线性空间的维数、基与坐标

在线性空间中同样可以引入线性组合、线性相关性、极大线性无关组等概念，并得到与向量空间中类似的结论。在此基础上可以定义线性空间的基、维数与坐标等概念。

定义1：设线性空间V中的n个向量?1,?2,?,?n满足： (1) ?1,?2,?,?n线性无关；

(2) 任意的??V都可由?1,?2,?,?n线性表示，即存在一组有序数k1,k2,?,kn，使

??k1?1?k2?2???kn?n (2.1)

则将向量组?1,?2,?,?n称为线性空间V的一组基；向量组所含向量数n称为线性空间V的维数，记为dim(V)?n。

维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为V。由定义1可见，线性空间的维数就是它的一组基所含的向量个数。当确定了一组基之后，线性空间中的任一向量在该组基下的表示就是唯一的。

设?1,?2,?,?n为线性空间V的一组基，则对任意的元素??V，都有一组有序数

nnnx1,x2,?,xn，使(2.1)式成立；并且可以证明，这组有序数是唯一的。

反之，任给一组有序数x1,x2,?,xn，总有唯一的元素??V可以由?1,?2,?,?n线性表示，即同样成立(2.1)式。

由此可知，如果?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，对任一元素??V，都可以表示为

nnn?x1????x???x1?1?x2?2???xn?n???1,?2,?,?n??2? (2.2)

????x??n??n这样，V的元素?与有序数组?x1,x2,?,xn?之间存在着一种一一对应关系，因此可

以用这有序数组来表示元素?。于是我们有

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定义2：设?1,?2,?,?n是线性空间Vn的一组基，对于任一元素??Vn，有且仅有一组有序数x1,x2,?,xn，使(2.1)式成立，则称该有序数组为元素?在基?1,?2,?,?n下的坐标，并记元素?的坐标为

?x1,x2,?,xn?? (2.3)

例1 在§1的例3中次数小于n的实多项式构成的线性空间R[x]n是一个n维线性空间，可以选取它的一组基

p1?1,p2?x,?,pn?xn?1

这时对于任何一个次数小于n的实多项式f?a0?a1x???an?1x因此它在该组基下的坐标为(a0,a1,?,an?1)?。

如果在R[x]n中另取一组基

n?1，均可表示为

f?a0p1?a1p2???an?1pn

??1,p2??x?a,?,pn??(x?a)n?1 p1?,p2?,?,pn?下的坐标为 则根据f在x?a处的泰勒展开式，可得f在基p1f(n?1)(a)(f(a),f?(a),?,)?

n!例2 在n维线性空间Rn中，它的一组基为

?1?(1,0,?,0)?，?2?(0,1,?,0)?，…，?n?(0,0,?,1)?

对于任一向量??(a1,a2,?,an)?R，有

n??a1?1?a2?2???an?n

所以向量?在基?1,?2,?,?n下的坐标为(a1,a2,?,an)?。

而在R的另一组基

n??(0,0,?,1)? ??(1,1,?,1)?，?2??(0,1,?,1)?，…，?n?1下，向量?可以表示为

??(a2?a1)?????a1?12???(an?an?1)?n

?,??2,?,??n下的坐标为(a1,a2?a1,?,an?an?1)?。 向量?在基?1引入了线性空间中向量坐标的概念后，不仅将抽象的向量?与具体的数组向量

?x1,x2,?,xn??联系在一起；同时也将线性空间Vn中抽象的线性运算与具体的数组向量的

线性运算联系在一起。

设?,??V

n?x1??y1?????x?2??y2?????1,?2,?,?n???，????1,?2,?,?n??? (2.4)

???????x??y??n??n???R，规定如下的向量之间的线性运算：

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