基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较

2015级《数值分析》课外课堂大作业

论文题目： 基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较姓 名： XXX 学 号： XXXXXXXXXXX 学 院： XXXXXXXXXXXXXXX 专业方向: XXXXXXXXXXXXXXX 联系方式：（QQ号） （手机号 ） 导师姓名：

完成人（亲笔）签字

二0一五年十二月

基于多项式插值与三次样条插值曲线拟合的比较

摘要：在数值计算中经常要计算函数，当函数只在有限点集上给定函数值要包含改点集

的区间上用公式给出函数的简单表达式，这就涉及在已知区间上用简单函数逼近已知复杂函数问题。本文为了解决这类问题就采用多项式插值与三次样条插值两种插值法并利用MATLAB数值分析软件进行编程，实现相应数据的曲线拟合以获得最佳曲线模型与相应数据的曲线拟合，选出最优的插值法以解决所给数据的曲线拟合问题。

关键词：函数；多项式插值；三次样条插值；曲线拟合；MATLAB

Abstract:In numerical analysis ,the function value is often calculated .when the function is only

given a function point set ,the simple expression of the function is given by the interval .which involves the use of a simple function to approximate the known complex function .in order to solve this problem ,we use polynomial interpolation and cubic spline interpolation tow kind of interpolation method and use MATLAB numerical analysis software to program ,to achieve the curve fitting of the corresponding date to obtain the best cure fitting ,and to choose the best interpolation method to solve the problem of curve fitting to the date.

Keyword: Function ; Polynomial interpolation ; Cubic spline interpolation ; Fitting of a

curve ; MATLAB

前言

现代科学研究中，物理量之间的相互关系通量是用函数来描述的，许多实际问题都用函数y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系其中相当一部分函数是通过试验或观测得到的也有少量函数关系是由经典物理分析推导得到的，但许多实际问题很难用经典理论分析得出，因为虽然f(x)在某个区间［a,b］上是存在的，有的还是连续的，但往往这个f(x)并不包含我们所得函数表的所有值因此我们希望根据给定的函数表做一个即能反应函数f(x)的特行，又便于计算的简单函数p(x)，用p(x)近似f(x)，这样确定的p(x)就是我们希望得得到的插值函数。 插值法是一种古老的数学方法。在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给零件外形曲线的某些点加工是为控制每步走刀方向及步数就要算出零件外形曲线其他点的函数值才能加工外形光滑的零件，插值函数就能很好解决这类问题，本文主要采用多项式插值与三次样条插值来解决给定的实验数据利用这两种插值法构造一个近似解析式y=f(x)p(x)利用该公式得出的p(x)函数曲线虽然不能保证通过所有样点，但能很好地“逼近”它们从分反映已知数据间内在的数量关系，本文利用多项式插值与三次样条插值两种插值方法分别“逼近”已知点比较出最佳插值法。

第一章 数值算法的介绍

一 多项式插值

设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a?上的值 ,,?,,若存在一简单函数p(x)使

P()= ,i=0,1,?n (1.1)

成立就成P(x)为F(x)的插值函数，点，,?,称为插值节点，包括插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数p(x)的方法成为插值法。若p(x)是次数不超过n的代数多项式，即

P（x）=++ ? + (1.2) 其中为实数就称p(x)为插值多项式。

多项式插值包含多种插值法这里主要介绍拉格朗日插值法。 若n次多项式(x)(j=0,1,?,n)在n+1个节点上满足条件 j,k=0,1,?,n (1.3)

就称n+1个n次多项式上的n次插值基函数。所以拉格朗日插值多项式公式 (X)=?yk (1.4)

k?0n其中(x)=（x-）(x-)?(x-), ()=(-) ?(-)(-)?(-) 二 三次样条插值

在机械领域早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(所谓的样条)用压铁固定在样点上，在其他地方让它弯曲，然后延木条画下曲线，称为样条曲线样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到·数学样条这一概念。

定义:函数S(x)∈[a,b] ，且在每个小区间[ ,+1 ]上是三次多项式，其中a =<<...< = b 是给定节点，则称S(x)是节点,,...上的三次样条函数。若在节点上给定函数值= f ().( j =0, 1, , n) ，并成立

S() = .( j= 0, 1, , n) ， (2.1) 则称S(x)为三次样条插值函数。

由于插值节点有n+1个，故得到n个小区间，而每个小区间上要求一个三次多项式，每个区间需要4个条件，所以要确定样条函数S，共需要4n个条件。在插值节点上，S() = f(),j = 0,1,2,...,n,得到n+1个条件，在j = 1,2,...,n-1,由S，S的一阶导数，S的二阶导数连续可以得到3(n-1)个条件，所以总共得到