2006年第23届物理竞赛预赛试题及答案

第23届全国中学生物理竞赛预赛试题

（2006年9月3日）

本卷共九题，满分200分

一、（20分，每小题10分）

1. 如图所示，弹簧 S1 的上端固定在天花板上，下端连一小球 A，球 A 与球 B 之间用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时 A、B、C 的加速度。

2. 两个相同的条形磁铁，放在平板 AB 上，磁铁的 N、S 极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。

（ⅰ）现将 AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在 A?B? 处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。

（ⅱ）如果将 AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在 A??B?? 位置，结果发现两条形磁铁也碰在一起。

试定性地解释上述现象。 二、（20分，第1小题12分，第2小题8分） 1. 老爷爷的眼睛是老花眼。

（ⅰ）一物体 P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时 P 通过眼睛成像的光路示意图。

（ⅱ）带了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P，试在示意图2中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

图1

2. 有两个凸透镜，它们的焦距分别为 f1 和 f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为 f3 和 f4。已知，

f1＞f2＞| f3 |＞| f4 |。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_________的透镜作为物镜，应选焦距为________的透镜作为目镜。

1

三、（20分，第一小题12分，第2小题8分） 1. 如图所示，电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处，电荷量为 q2 的正点电荷固定在 x 轴上，两电荷相距 l 。已知 q2＝2q1。

（ⅰ）求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。

（ⅱ）若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点，试讨论它的稳定性（只考虑q0 被限制在沿 x 轴运动和被限制在沿垂直于 x 轴方向运动这两种情况）。

2. 有一静电场，其电势 U 随坐标 x 的改变而变化，变化的图线如图1所示，试在图2中画出该静电场的场强 E 随 x 变化的图线（设场强沿 x 轴正方向时取正值，场强沿 x 轴负方向时取负值）。

图1 图2

四、（20分）一根长为 L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 L ＞H 。现把细管弯成 L 形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成 L 形时，以 l 表示其竖直段的长度，问 l 取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。

2

五、（20分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量 m、速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件，即

mrv?nh 2?式中 n 称为量子数，可取整数值 1，2，3，??；h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量以及第一激发态与基态能量之差。 六、（25分）如图所示，两个金属轮 A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动，O1 和 O2 相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1 轮的辐条长为 a1、电阻为 R1，A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在 D 边缘上的某点，绳在 D 上绕足够匝数后，悬挂一质量为 m 的重物 P 。当 P 下落时，通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。转动过程中，A1、A2 保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2 两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将 P 释放，试求 P 匀速下落时的速度。 七、（25分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为 R，圆筒的轴线在 O 处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为 B 。筒壁的 H 处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P 与筒壁碰撞是弹性的，P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞的次数最少，问：

1. P 的速率应为多少？

2. P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？

3

八、（25分）图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小

2球与 CB 边无接触地向下运动，当v0分别取下列两值时，小球将打到梁上

的何处？

21. v02?2(62?33?1)gl 2. v0?2(33?11)gl

设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。 九、（25分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R＝6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E??GMm 2a式中 M 为地球质量，G 为引力常量。百度传课：物理竞赛&自主招生与奥赛全程对接物理视频教程。

1. 假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。 2. 若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ 3. 试导出 E??G

4

Mm 。 2a