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6.解析 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).

因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的

中点为M(x0,y0),则

由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.

又y0=2,所以k=1, 故直线l的方程是y=x-1.

(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m+1)>0. |AB|===

2

2

消去x,整理得y-4my-4=0,所以

2

|y1-y2| ··

=4(m+1).

所以4(m+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0. 7.解析 (1)依题意,设抛物线C的方程为y=ax(a≠0). 由抛物线C经过点P(1,2),得a=4, 所以抛物线C的方程为y=4x.

(2)因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2, 所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.

2

2

2

易知直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0).

将其代入抛物线C的方程,整理得kx-2(k-2k+2)x+k-4k+4=0,

2222

设A(x1,y1),则1×x1==,

所以y1=k(x1-1)+2=-2,

所以A.

用-k替换点A坐标中的k,得B.

所以kAB==-1.

所以直线AB的斜率为-1.

B组 提升题组

8.B ∵

=4

,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知

|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.

=,即=.

9.A 易得该直线的斜率为,F,则直线方程为y=,联立得整理得

3x-5px+

2

=0,即(2x-3p)(6x-p)=0.

因为|BF|>|AF|,所以xB=p,xA=,

因为|BF|=3,所以xB+=2p=3,所以 p=,

所以|AF|=xA+=p=1.故选A. 10.B 依题意可得,=-(|因为|所以

|·|

|).

|=yB+1, ·

|=yA+1,|·

=-(yAyB+yA+yB+1).

设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0), 联立x=4y,可得x-4kx-4=0, 所以xA+xB=4k,xAxB=-4. 所以yAyB=1,yA+yB=4k+2. 所以

·

=-(4k+4).

22

2

2

同理,·=-.

所以·+·=-≤-16.

当且仅当k=±1时等号成立.

11.答案

解析 设双曲线与抛物线的准线的交点分别为A,B,A在x轴上方,B在x轴下方.由抛物线方程可知准线

方程为x=-1,由得A,B,∴|AB|==b,即2=a,解得

a=(负值舍去).

2

12.答案

解析 抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x0,y0)(y0>0),因为直线l的倾斜角为

60°,所以x0+1=2(x0-1),解得x0=3,∴y0=213.答案 4或8

,∴|OA|==.

解析 抛物线y=2px的准线l:x=-,

圆的方程可化为(x+3)+y=4,圆心为(-3,0),半径r=2.

2

2

2

由|AB|=2,得圆心到l的距离d==1,

∴-=-2或-4,即p=4或8.

14.解析 (1)由题意知抛物线的焦点为F.

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直于x轴)的方程为y=k所以=2px1,=2px2(p>0). 因为直线OA与OB的斜率之积为-p,

(k≠0),

所以=-p.

所以=p,

2

所以x1x2=4.