山东省济宁市高考数学一轮复习 第三讲 统计讲练 理 新人教A版

第三讲 统计、统计案例

一、随机抽样 1、简单随机抽样

（1）．设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

（2）．最常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数表法． 2、系统抽样

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． （1）．先将总体的N个个体编号．

（2）．确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝??.

（3）．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)． （4）．按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

这种抽样方法是一种系统抽样． 3、分层抽样

1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样． 2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

二、用样本估计总体

1、作频率分布直方图的步骤 （1）．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． （2）．决定组距与组数． （3）．将数据分组． （4）．列频率分布表． （5）．画频率分布直方图．

频率分布直方图的特点

1

NnNnNn?N??n?

(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示

频率

，频率＝组距组距

频率×. 组距

(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．

(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．

2、频率分布折线图和总体密度曲线 （1）．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

（2）．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3、茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

用茎叶图表示数据的两个优点

一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．

4、标准差和方差 （1）．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． （2）．标准差：

1222

s＝ [x1－x＋x2－x＋…＋xn－x].

n12222（3）．方差：s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)](xn是样本数据，n是样本

n容量，x是样本平均数)．

平均数、方差的公式推广

①若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.

②数据x1，x2，…，xn的方差为s.

2

(Ⅰ)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s；

22

(Ⅱ)数据ax1，ax2，…，axn的方差为as.

基础自测

1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

【解析】 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．

【答案】 D

2．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )

A．50 B．40 C．25 D．20

1000

答案：C [解析] 由题意得，分段间隔是＝25.

40

3．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用

2

2

分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

答案：60 [解析] 由分层抽样方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人数为300×4

＝60.

4＋5＋5＋6

4．(2013·辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9－2－3，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )

图9－2－3

A．45 B．50 C．55 D．60

【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20

15

＝0.3，所以该班的学生人数是＝50.

0.3

【答案】 B

5．(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．

【解析】 利用平均值和标准差公式求解．

7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4

(1)x＝＝7.

10

122222222

(2)s＝[(7－7)＋(8－7)＋(7－7)＋(9－7)＋(5－7)＋(4－7)＋(9－7)＋(10－

10

222

7)＋(7－7)＋(4－7)]＝4，∴s＝2.

【答案】 (1)7 (2)2

考点一 抽样方法

例 (1)(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )

A．7 B．9 C．10 D．15

(2)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．

【解析】 (1)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为9,39,69，…，939.

落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差

3

960

＝30，抽取的号码依次为32

数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

(2)依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，

x28

得＝，解得x＝12. 4298

【答案】 (1)C (2)12

跟踪练习 （2011山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】16

【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40?

考点二 用样本估计总体

例 [2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下： 甲部门 8=16. 20 4 9 7 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 6 6 5 5 2 0 0 6 3 2 2 2 0 3 4 5 6 7 8 9 10 乙部门 5 9 0 4 4 8 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 0 1 1 2 3 4 6 8 8 0 0 1 1 3 4 4 9 1 2 3 3 4 5 0 1 1 4 5 6 0 0 0 图1-4

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位66＋68数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.

2

58

(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，5050＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.

(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该

4