分式型递推数列通项公式的求法

一类分式型递推数列通项公式的求法

2012年高考大纲全国卷考查了形如an?1=

Aan?B递推数列通项公式的求法.

Can?D由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想，更要有较强的运算能力，具有很强的综合性，因而备受命题者的青睐.不少同仁也研究过此类问题，如文?1?,推导过程有点烦琐.也用高等数学不动点知识来求解,这种解法对高中生来说很难接受.本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法.

一 形如an?pan?1?qan?2递推数列通项公式求法

不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用，不再推导. 结论1 如果x1,x2是递推关系an?pan?1?qan?2（a0,a1给定）的特征方程则（1）当x1?x2时，an??1x1??2x2；（2）当x1?x2时， x2?px?q的两个根，

an?(?1??2n)x1.这里?1,?2,?1,?2都是由初始值确定的常数.

nnn二 形如an?1=

Aan?B递推数列通项公式求法

Can?D为了研究问题的一般性，这里C?0,AD?BC?0.设f(x)?值a1?f?a1?.

方法1 构造法 两边同减去?,an?1??=

Ax?B，且初始

Cx?DAan?B(A?C?)an?B?D? ??=

Can?DCan?D=

(A?C?)(an??)?B?D??(A?C?)?.令B?D??A??C?2?0,即

C(an??)?D?C?C?2?(D?A)??B?0,?可看成是方程Cx2?(D?A)x?B?0(1)的根.由于此时

DDA(假设x??,代入方程,可得AD?BC,与已知条件相矛盾.同理x?).CCCAx?B所以方程(1)与方程x?(2)同解.此时不妨称(2)为特征方程.

Cx?Dx??结论2 (1)当特征方程有两个不等根x1,x2(由初始值a1?f?a1?,可知方程的根不可能与a1相等)时,an?1?x1?

(A?Cx1)(an?x1)(A?Cx2)(an?x2),an?1?x2?,

Can?DCan?D

两式相除可得,

an?1?x1A?Cx1an?x1?,故

an?1?x2A?Cx2an?x2?an?x1?a1?x1是以首项,以??a1?x2?an?x2?A?Cx11A?D为公比的等比数列.(2)当x1?x2?时(由求根公式可得),?

A?Cx2an?1?x12CC(an?x1)?(D?Cx1)D?Cx1CA?D=+,把x1?代入,可得

(A?Cx1)(an?x1)(A?Cx1)(an?x1)A?Cx12C?1?1112C2C=,故?是以首项,以为公差的等差??a?xan?1?x1an?x1A?Da1?x1A?D1??n数列.

方法2 转化法

an?1=

Aan?B=

Can?DBDB?AA,令b?a?D,有b?D=A?AAC,即

nn?1nDCCCbnCCan?Can?bn?1BD?ccA?DBC?ADcn?1A?DAAC??.再令bn?1?n?1,有n?1?,两边同?2cnCcnCCbncnC乘以cn,得到cn?1?1进行求解.

三 例题

A?DBC?ADcn?cn?1.也就是说通过两次变换可转化为类型2CC例1 已知数列?an?满足a1?1,an?1??an?4,求?an?通项公式. an?3解 法1 特征方程x??1an?1?2a?2a?4x?4?2=n，得x1?x2??2.an?1?2??n.

an?3an?3x?3两边取倒数,有解得an??11123n?2?1.故???n?1??1=n??. an?2an?2a1?2337?6n. 3n?2c1.再令bn?n,由b1?4,可

cn?1bn法2 令an?3?bn,代入原式化简有bn?1?2?设c0?1,c1?4.递推关系可化为

cn?1c?2?n?1,即cn?1?2cn?cn?1,由结论1求得cncn

cn?3n?1,故bn?cn3n?17?6n,所以an?bn?3=. ?cn?13n?23n?24xn?3，求?xn?通xn?2例2（2012高考全国卷）已知数列?xn?满足x1?2,xn?1?项公式.

解 法1 特征方程为t?x?34t?3,解得t?3或t??1,所以xn?1?3?n,

xn?2t?2xn?1?1?5(xn?1)x?31xn?3x?32?31?????,所以有 ,两式相除有n?1.而1xn?2xn?1?15xn?1x1?12?13n?1xn?31?1?????xn?13?5?9?5n?1?1,解得xn?

3?5n?1?1b5.再令an?n,由a1?4,可

bn?1an法2 令xn?2?an,代入原式化简有an?1?6?设b0?1,b1?4,递推关系可化为

bn?15b?6?n?1,即bn?1?6bn?5bn?1.由结论1求bnbnbn3?5n?13?5n?19?5n?1?1?得bn=,故an?,所以xn?an?2?. n?1n?1bn?13?5?143?5?1在解题过程中,笔者发现分式型递推数列的特征方程如果有两个不等的根,

转化后二阶线性递推数列的特征方程也有两个不等的根.如果分式型递推数列的特征方程如果有两个相等的根, 转化后二阶线性递推数列的特征方程也有两个相等的根.这或许是这两类递推数列间一种很重要的关系.本文着重探究了分式型递推数列与一般二阶线性递推数列间的内在关系及求这类分式型递推数列通项公式的两种方法.希望对此类问题掌握不太好的学生有所帮助.

参考文献

1 牛志忠. 一类分式型数列通项公式的一种求法?J?.中学教研,2008(1) 2 中国华罗庚学校数学课本 严军主编 长春:吉林教育出版社,2011.8