（郭云龙）浅谈数学分析的反例及其应用(1)

本 科 生 毕 业 设 计 (论 文)

题目：浅谈数学分析中的反例及其应用

The countrexample and its application in mathematical analysis

教学单位 计算机科学与技术学院 姓 名 郭云龙 学 号 __ 200731105031 年 级 2007级 专 业 数学与应用数学 指导教师 ___ 马志霞 职 称 副教授

2011年 4月 20日

浅谈数学分析中的反例及其应用

目 录

摘要............................................................... 3 Abstract(英文摘要)..................................................3 1.绪论............................................................. 4 2.数列..............................................................5 2.1 收敛数列的性质及反例............................................5 2.1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例..........................5 2.1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例........................5 2.1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例................................6 2.1.4 有界变差数列逆命题的反例......................................7 3.函数..............................................................8 3.1 函数极限及性质的反例............................................8 3.1.1 函数极限的精确定义的反例 .....................................8 3.1.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例....................9 3.1.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例........................9 3.1.4 周期函数的和不是周期函数的反例...............................10 3.1.5 介值定理的反例...............................................10 4.一元函数微积分 ..................................................11 4.1 一元函数微分学反例.............................................11 4.1.1 中值定理相关反例.............................................11 4.2 一元函数积分学反例.............................................12 4.2.1 Riemann可积相关反例..........................................13 4.2.2 Newton-Lebniz公式相关反例.....................................13 4.2.3 积分中值定理相关反例.........................................14 5.级数.............................................................15 5.1 级数的常见反例.................................................15 5.1.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛...............................15 5.1.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例.............................15 5.1.3 条件收敛级数可以不是交错级数.................................16 5.1.4 两级数条件收敛，但它们的Cauchy乘积发散........................16 6.多元函数微积分...................................................17 6.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例.............................17 6.1.1 累次极限和二重极限的相关反例.................................17 6.1.2 多元函数微分学其他反例.......................................18 6.2 重积分及其反例.................................................19 6.2.1 同一函数累次积分不同的反例...................................19 6.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分...............................20 结论...............................................................21 参考文献...........................................................21 致谢...............................................................22

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浅谈数学分析中的反例及其应用

摘要：

数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。 本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数学分析中的反例进行总结研究，本文旨在研究数学分析中数列、函数、一元函数微积分、级数、多元函数微积分五个部分，针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性。

关键词： 数学分析 反例 证明

Abstract：

Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the

formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously.

To the question, this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically. and there are five sections: Series, function, differential and integral, series, function of several variables. We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking method. If there’s any problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening.

Key words: Mathematical Analysis, Counterexample, Proving

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浅谈数学分析中的反例及其应用

1.绪论：

在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。

美国数学家 B·R·盖尔鲍姆和J·M·H·奥姆斯特德指出:“数学由两大类—证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”18～19 世纪有突出贡献的数学家 Euler 和Gauss，根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之谈”。Euler 说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss 也说过：他的许多定理都是靠反例法发现的。我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。

我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。在近几年的考研数学考试中，反例的巧妙运用能使题目难度大幅降低，大大节省做题时间。

本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要以讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论了函数的连续，有界，周期等性质的反例；一元函数微积分学分别讨论了中值定理，Riemann可积等相关反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分学讨论了累次极限，累次积分等反例。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。

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