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3、正投影的基本特性
下面我们以直线及平面在空间不同位置的正投影图为例,可以得出正投影的几个基本特性。 (1)真实性:度量性(真实性、实形性):平行于投影面的直线或平面分别反映实长或实形。 (2)积聚性:垂直于投影面的直线或平面积聚为一个点或直线。
(3)相似性:倾倾斜于投影面的直线或平面,其直角投影小于其实长或实形。 (4)平行性:空间两条直线平行其投影仍平行。
(5)定比性:直线上一点M分线段AB为一定比值,则其投影图仍分该投影线段为同样的比值。即:AM:MB=am:mb,图(e)。
图1-3 正投影的基本特性
4、三面投影图的形成及其规律 (1)三面投影图的形成
如图1-4所示,空间形体虽然不同,但却有着相同的正投影图。由此可见,仅凭单面投影是不足以确定空间形体的形状和大小的。因此,一般需要从几个方向对形体作投影图并综合起来识读,才能确定形体惟一的形状和大小。
我们建立由三个相互垂直的平面组成的三面投影体系。然后将形体放在该体系中,并使形体的主要面分别与三个投影面平行,由前向后投影得正立面投影图(V面投影),由上向下投影得水平投影图(H面投影),由左向右投影得侧立面投影图(W面投影)。为作图方便,还需将该投影体系作展开,展开方法即V面不动,H面绕X轴向下旋转90°,W面绕Z
轴向右旋转90°,使其展开在一个平面上, ,如图1-1-5所示。 图1-4 形体的单面投影
(2)三面投影图的规律
正投影图中分析可知:V面、H面投影左右对齐,并同时反映形体的长度。V面、W面上下对齐,并同时反映形体的高度。H面、W面前后对齐,并同时反映形体宽度。上述三面投影的基本规律可以概括为:长对正、高平齐、宽相等的关系。
形体投影图上还能反映形体的方向。我们规定以X轴正向表示左,Y轴正向表示前、Z 轴正向表示上。则得出:V面投影反映形体的上下、左右关系;H面投影反映形体前后、左右关系;W面投影反映形体的前后、上下关系。
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5、★标高投影:它是一种带有整数数字标记的单面正投影,用来表示地形的起伏状况(见前面图示);
6、点、直线、平面的投影
(1)点的三面投影及其规律
如图所示,为空间点A的三面投影图及展开图。总结其展开图的投影规律,可以得出点的三面投影规律:
点的水平投影的连线的正面投影的连线垂直0X轴,即aa’⊥ OX; 点的正面投影的连线的侧面投影的连线垂直0Z轴,即a’a”⊥ OZ;
点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离,即aaX=a”aZ。
例.已知空间点的两个面的投影,求作其第三面的投影图。
分析:据已知条件,再根据空间点的三个投影规律作线,两线的交点即为所求点,如图所示。
(2)直线的投影
1)直线的投影图画法:
空间的两点可以确定一条直线段。因此,直线的三面投影可由其两端点的三面投影图来确定。 2)直线与投影面的位置:
在三面投影体系中,据直线对投影面的位置,可分为三种情况: 一般位置直线:倾斜于三个投影面,对三个投影面都有倾斜角;
投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线,同时,也平行于另外两个投影面。投影面垂直线可分为:正垂线、铅垂线、侧垂线。正垂线是垂直于正立投影面的直线;铅垂线是垂直于水平投影面的直线;侧垂线是垂直于侧立投影面的直线;
投影面平行线:平行于某一投影面的直线,同时倾斜于其余两个投影面。投影面平行线可分为:水平线、正平线、侧平线。水平线是平行于水平投影面的直线;正平线是平行于正立平投影面的直线;侧平线是平行于侧立投影面的直线;
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3)直线上的点
从前所述正投影特性“定比性”中已知:点在直线上,其各投影必在直线的同名投影上,且该点分割线段的比值与投影线段中的比值相同。 (3)平面的投影
1)平面的投影图画法
平面的投影可由其平面上点和直线的三面投影图来确定,连结平面上的点和直线的投影即可。
2)平面与投影面的位置
空间平面按其在三面投影体系中所处的位置也分三种情况:一般位置平面、投影面垂直面、投影面平行面。后两种又称为特殊位置平面。
一般位置平面:其投影特性为在三个投影面上均反映类似性。
投影面垂直面:是垂直于某一投影面的平面,对
其他两个投影面倾斜。投影面垂直面可分为:正垂面、铅垂面、侧垂面。正垂面是垂直于正立投影面的平面;铅垂面是垂直于水平投影面的平面;侧垂面是垂直于侧立投影面的平面;
投影面平行面:是平行于某一投影面的平面,同时,也垂直于另外两个投影面。投影面平行面可分为:水平面、正平面、侧平面。水平面是平行于水平投影面的平面;正平面是平行于正立平投影面的平面;侧平面是平行于侧立投影面的平面。
3)平面上的点或直线 ①直线在平面上的几何条件:
若直线通过平面上的两个点,则此直线在该平面上。如图所示,L在三角形ABC平面上。
若直线通过平面上的一
点,且平行该平面上的另一条直线,则此直线必在该平面上。如图所示,N直线平行AB,且过C点,故N直线在三角形ABC平面上。
②点在平面上的几何条件:点如果在平面中的任一直线上,则此点必在该平面上。如图 所示。D点在三角形ABC平面上的AE直线上,故D点也在三角形ABC平面上。 7、★用直角三角形法求一般线段的实长及倾角
(1)如下图a)所示的AB及ab。过A作AB0∥ab,交Bb于B0,由正投影的特性及倾角的定义,可知△AB0B为直角三角形,直角三角形斜边AB即为实长,斜边与投影的夹角即为某一倾角的实形。求角方法见图b)c)。
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