高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1空间点直线平面之间的位置关系2.1.3 - 2.1.4平面与平面之间的位置

2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α( ) A．没有公共点 C．至少有一个公共点

B．至多有一个公共点 D．有且只有一个公共点

解析：当直线l与平面α平行时，没有公共点；当直线l与平面α相交时，有且只有一个公共点． 答案：B

2．下列说法中，正确的是( )

①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行；③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．A．①③ B．②④ C．①② D．②③④

解析：①②正确；③中，两点所在直线与平面平行时可以；④中，经过这条直线的平面与已知平面可能相交． 答案：C

3．如果两条直线a∥b，且a∥平面α，那么b和平面α的位置关系是( ) A．相交 C．b?α

B．b∥α D．b∥α或b?α

1GvUMMtZxPPvGi3fnWOmEPd1bMuJkCOCXCPD4MpoCfuZfNuLU8IgUGAbtuJZhJEU1dx3tpbBwqKpkeLoiJPcTxIh1Daz2p6SAzY2。解析：当直线b?α时，b∥α；b?α也有可能成立． 答案：D

4．若直线a?α，则下列结论中成立的个数是( ) (1)α内的所有直线与a异面； (2)α内的直线与a都相交； (3)α内存在唯一的直线与a平行； (4)α内不存在与a平行的直线． A．0 B．1 C．2

解析：∵直线a?α，∴a∥α或a∩α＝A.

如图所示，显然(1)(2)(3)(4)都有反例，所以都不成立．

D．3

答案：A

5．下列说法中正确的个数是( )

(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线． (2)如果平面α外有两点A，B到平面α的距离相等，则直线AB∥α. (3)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面． (4)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线． (5)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析：(1)错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有一条交线．

FVkErzkXMvSqW1wr68Wiz7GZWS1rzbNUyvzNwTOVC6mQLYx06zp4rHzyflHzySnBHYRqrIUcj0FsKQdYl0kZLItRW1ybbemJIK8N。(2)错误．如果两点A，B在平面α的同一侧，则直线AB∥α；如果两点A，B在平面α的两侧，

则直线AB与平面α相交．

(3)错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内．

(4)错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．

(5)错误．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a?β. 答案：A

6．A、B是直线l外两点，过A、B且与l平行的平面个数为________个．

解析：直线AB与l相交时为0个；直线AB与l异面时为1个；直线AB∥l时，有无数个． 答案：0或1或无数

7．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条． 答案：1或3

8．已知下列说法：(1)若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b ；(2)若两个平面α∥

β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；(3)若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；(4)若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)

解析：分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，所以可能平行，也可能异面，所以(3)正确；(4)中a与β也可能平行．答案：(3)

9．已知三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

解析：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.

p86uLnipRyaQwxIT5sYO5R3LULIegE1n4Wrxi00d9b5fTNydVcRBV9Px5lAZF39cxNMz6bA4sKFTMOR6dvj3NqrU6TsWq0y51SH6。6VzPv5agTDE6FRsInqfmX53qWHFwmRGzzoeGOG7wbKAiHDlFmAvvYrh0S8TOqEU2X4xhDMTGiJadvLJjl0aMlaB76dNFNj5xPxkC。(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，

b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.

gjZrSZcofS7tSP4dNBlyeeD67jvcUINk9MURTT8etCK0DctQ7G4AmTc2FTjzt0ux5Mj5UdjTt75BtDtUQF4dDcXfASc0AzLt8dUQ。10.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈

β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交

线与l有什么关系？证明你的结论．

5RzogKBJM8dmrM613TzmGL9dyQ8KNZdn8mmVV3taZxtoqvfY7C7FWF9jHmPqCRVNUPd4pa50ppn9iLN3A9CbRxrsd2ezd3y8BGtA。解析：平面ABC与平面β的交线与l相交． 证明如下：

∵AB与l不平行，AB?α，l?α， ∴AB与l是相交直线．

设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β， ∴P∈平面ABC且P∈平面β，

即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．而C也是平面ABC与平面β的一个公共点， 又∵P，C不重合，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P， ∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

[B组 能力提升]

1．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有( ) A．0个 C．无数个

B．0个或1个 D．0个或无数个

解析：若两个平面有公共点，则公共点有无数个；若两个平面平行，则它们的公共点有0个． 答案：D

2．给出下列几个说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为( )A．0 C．2

WqztPcUpQMhTBdiGrIoRndrCO6VpaiG0Dh3SCAiUZheThYMyjNtTOnUJZWFJhufx6gfkaq3RqtS6ZxlPjn5nPMcfmkTFUyDu1GN0。B．1 D．3

解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正

确．

TvrmRFMVynwaQzZ5IHamfdGpmGcgoFb2WBtBaRBBFJT023DUbB86svaFO20asvwTbude5nVQ6yHwkGni3h5Nx4zrrNM8Rq99d0Ox。答案：B

3．下列四个说法： ①a∥α，b?α，则a∥b

②a∩α＝P，b?α，则a与b不平行 ③a?α，则a∥α ④a∥α，b∥α，则a∥b 其中错误的说法是________．

解析：对于①，a与b可能异面，故①错误；对于②，易判断是正确的；对于③，直线a还可能与平面α相交，故③错误；对于④，a与b可能相交、异面．答案：①③④

4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线有________条．

5C7YCCT0NQwba4dskxNHlFlAYZKXQY2qJ5hv9VqGDgUvAr6soxpyoDCqgxZDRVaPN5r4NHjo7645LQZxThyiyu26tQeBWNOH55Iv。hpoZeMQLHYJwJbh9VoKefb1bnSIX1zLDVFjUreIiOZkLMqOfb830PK36odCl4SJ7c5B4SnHHGspfQfpX3sMTwKObBdveBmeVfcyG。

解析：根据题意，知平面ADD1A1与平面D1EF相交，所以在平面ADD1A1内与平面ADD1A1和平面

D1EF的交线平行的直线有无数条，所以在平面ADD1A1内与平面D1EF平行的直线有无数

条．

Si6X22uOjOMd7Zy2drytVXjM1aaTJvNwgomQEPMdaf1iK0Ovkq2OydJVZkWRRB5O0fWJDIooFkjGV021mFzisZY3EqQkSVmzadhu。答案：无数

5．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．

JRy2yPjDLrP0VYIaNA3ynavmmqM3KHhRZC3vDYs8deA7H6Oa2G5Z0cTylcG83gT49Y0jVdwO8Vl8znEfCC03CiQNIu9qij5XlwYI。

解析：直线PQ与平面AA′B′B平行． 连接AD′，AB′，在△AB′D′中，

∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′， ∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，

∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

VuGI8o7tQdq24BFZglOLmuTMiDsnGxTTMW8EjYaqWStf1DxzcSXxRwiqAUqvVKNijwf8s1FhaoOt0ELF5TaNzl2gEI4pyFuc4bWv。

解析：如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF. ∵E是AA1的中点， ∴EF∥A1B.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形． ∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1.

∴E，F，C，D1四点共面． ∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.