二分法求解单变量非线性方程

多少次？

只要7次就够了。

这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用，二分法不仅可用于查找线路，水管，气管故障，还可用于实验设计，资料查询，也是求根的常用方法。

例5.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定的时间内猜某一种物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标。某次才一猜一种品牌的手机，手机价格在500元~1000元之间。先手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了，851元，恭喜你，你猜中了。表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价码？

解：从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢，而手机的价格范围是确定的，且报数十整数，所以可用数学中的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案。

取价格区间?500,1000?的中点750，如果主持人说低了，就再取

?750,1000?的中点875；否则取另一个区间?500,750?的中点；若遇到小数

取整数。照这样的方案游戏过程猜想价格如下：750，875，812，843，

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859，851，经过6次可以猜中价格。

此方案比较方便，迅速，准确，而且很科学。在实际生活中处处有数学，碰到问题善用数学思维去思考，会更具有数学素养。

例6.求方程x5?x3?3x2?3?0的无理根（精确到0.01） 解：

由于x5?x3?3x2?3??x2?1??x3?3?，所以原方程有两个有理根1和-1，而其无理根是方程x3?3?0的根。令g?x??x3?3，以下用二分法求g?x?的近似零点。

由于g?1???2?0,g?2??5?0,故可取?1,2?作为计算的初始区间，列表如下：

端点或中点横坐标 a0?1,b0?2 x0?1.5 x1?1.25 x2?1.375 端点或中点函数值 g?1???2,g?2??5 定区间 ?1,2? ?1,1.5? ?1.25,1.5? ?1.375,1.5? ?1.4375,1.5? g?x0??0.375 g?x1???1.0469 g?x2???0.4004 x3?1.4375 x4?1.46875 g?x3???0.0295 g?x4??0.1684 ?1.4375,1.46875? ?1.4375,1.453125? ?1.4375,1.4453125? ?1.44140625? ,1.4453125 x5?1.4453125 x6?1.4453125 x7?1.44140625

由于区间

g?x5??0.0684 g?x6??0.0192 g?x7???0.0053 13

?1.44140625?的长度1.4453125?1.44140625,1.4453125?0.0039?0所以这

个区间的两个断电均可作为函数g?x?的零点近似值，取其近似值为1.44.因此原方程的无理根是1.44.

例7.求方程f?x??x3?e?x?0的一个实根。 解：

因为f?0??0,f?1??0.故f?x?在?0,1?内有根。 用二分法解之，?a,b???0,1?计算结果如表：

k a bk xk f?xk?的符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5000 0.7500 - - - 0.7656 - 0.7695 0.7714 0.7724 1 - - 0.8750 0.8125 0.7812 - 0.7734 - - - 0.5000 0.7500 0.87500 0.8125 0.7812 1.7656 0.7734 0.7695 0.7714 0.7724 0.7729 - - + + + - - - - - + 取x10?0.7729，误差为x*?x10?1/211。

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例8.求函数f?x??x2?5的负零点（精确到0.1）

解:

由于f??2???1?0,f??3??0,故取区间??3,?2?作为计算的初始区间 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点 -2.5 -2.25 -2.125 -2.1875 -2.21875 中点函数值 1.25 0.0625 -0.4844 -0.2148 -0.0771 ??3,?2? ??2.5,?2? ??2.25,?2? ??2..25,?2.125? ??2.25,?2,1875?

十、方法规律总结

（一）、二分法解题的基本步骤

1.计算f?x?的有根区间?a,b?端点处的值f?a?,f?b? 2.计算f?x?的区间中点的值f??a?b?/2? 3.进行函数值的符号比较

4.根据误差计二分到一定次数到达精度，从而求得近似值 （二）、二分法解题的基本规律：

求方程无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一函数的无理数零点的问题，再利用二分法求其零点的近似值。

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