【100所名校】河南省南阳市方城一中等五校2019-2020学年高二上学期12月联考数学(文科)试卷 Word版含解析

【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x， 所以=2．

所以故c=

a，

=2．

从而双曲线E的离心率e==．

（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．

设直线l与x轴相交于点C，

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a， 所以|OC|?|AB|=8，

因此a?4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2； 则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2）， 由

得y1=

，同理得y2=

，

﹣=1也满足条件．

由S△OAB=|OC|?|y1﹣y2|得： |﹣|?|

﹣

|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．

由

得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，

因为4﹣k2＜0，

所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16）， 又因为m2=4（k2﹣4），

所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为

﹣

=1．