2018-2019年数学高中学业水平考试模拟试卷(二)

1＋λ

解析：因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3，4)且(a＋λb)∥c，所以

321＝，所以λ＝. 42

答案：B

12．在面积为S的△ABC的边上AB上任取一点P，则△PBCS

的面积大于的概率是( )

4

1132A. B. C. D. 4243

解析：由△ABC，△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，这是一个几何概型，所以PAE3＝＝. AB4

答案：C

?π?

13．已知函数f(x)＝sin?x－?(x∈R)，下面结论错误的是( )

2??

A．函数f(x)的最小正周期为2π

?π?

B．函数f(x)在区间?0，?上是增函数

2??

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数

??π?π????

解析：因为y＝sin?x－?＝－cos x，所以T＝2π，在?0，??上是2?2???

增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．

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答案：D

14．已知直线a，b和平面α，下列结论错误的是( ) A.

a∥α??

???a∥b C.?a∥α或a?α D.??b⊥α?b?α?

a⊥b??

解析：当a∥α，b在α内时，a与b的位置关系是平行或异面，故D不正确．

答案：D

15．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )

A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6 解析：平均数增加，方差不变． 答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分．) 1

16．若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝10，则a＝________．

21

1alg a

解析：f(lg a)＝alg a－＝＝10，所以alg a＝(10a)2，两边取

2a1

常用对数，得(lg a)＝(1＋lg a)，所以2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a

2

2

a⊥α??

? ? a⊥b

?b?α?

a⊥α??

??b⊥α B.

?a∥b?

110

＝1或lg a＝－.所以a＝10或a＝.

210

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10

答案：10或 10

11

17．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的

ab距离的最小值为________．

a＋2b1

解析：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋

5535＋210?11?1?2ba?122?＋?＝?3＋＋?≥·(3＋22)＝2b)·，当a＝2bab?5?ab?5?52＋2

且a＋b＝ab时，即a＝1＋2，b＝时取等号．

2

35＋210

答案：

5

18．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为________．

1

解析：由(x＋y＋10＋11＋9)＝10，

5

1

[(x－10)2＋(y－10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得，x2＋y2＝208. 5

答案：208

?π?

19．已知函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1

6???π?

的图象的对称轴完全相同．若x∈?0，?，则f(x)的取值范围是

2??

________．

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?π??

解析：由题意知ω＝2，所以f(x)＝3sin?2x－??， 6???π??

当x∈?0，??时， 2??

?π??3??π5??2x－∈?－，π?，所以f(x)的取值范围是－2，3?.

6?66????3?答案：?－2，3?

?

?

三、解答题(本大题共2小题．每小题12分，满分24分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

??7π?3π?

?＋cos?x－?，x∈R. 20．(12分)已知函数f(x)＝sin?x＋4?4???

(1)求f(x)最小正周期和最小值；

π44

(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2

552－2＝0.

7π7π3π

解：(1)f(x)＝sin xcos ＋cos xsin ＋cos xcos ＋sin xsin

444

?3ππ??

＝2sin x－2cos x＝2sin?x－??，所以f(x)的最小正周期T＝2π，44??

最小值f(x)min＝－2.

4(2)证明：由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝，

5

4

cos αcos β－sin αsin β＝－，两式相加得2cos αcos β＝0.

5

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