9-6 多元函数微分学的几何应用

法平面方程为

x?1y?2z?1??, 10?1 (x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0,

即 x?z?0.

二、 曲线的切平面与法线

我们先讨论由隐式给出曲面方程

(x,y,z) = 0 (9) 的情形，然后把由显式给出的曲面方程z?(x,y)作为它的特殊情形.

设曲面∑由方程(9)给出，M(x0,y0,z0)是曲面∑上的一点，并设函数(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面∑上，通过点M任意引一条曲线（图8―8），假定曲线的参数方程为

x??(t),y??(t),z??(t), (10)

t?t0对应于点M(x0,y0,z0)且?'(t0),?'(t0),?'(t0)不全为零，则由(2)式可得这曲线的切

线方程为

x?x0y?y0z?z0=?,

??(t0)??(t0)??(t0)我们现在要证明，在曲面∑上通过点M且在点M处具有切线的任何曲线，它们在点

M处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线Г完全在曲面∑上，所以有恒等式

[?(t),?(t),?(t)]?0,

又因(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处有连续偏导数，且?'(t0),?'(t0)和?'(t0)存在，所以这恒等式左边的复合函数在t?t0时有全导数，且这全导数等于零: 即有

dF??(t),?(t),?(t)??0, dtt?t0Fx(x0,y0,z0)?'(t0)?Fy(x0,y0,z0)?'(t0)?Fz(x0,y0,z0)?'(t0)?0 (11)

引入向量

n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)},

则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量

T?{?'(t0),?'(t0),?'(t0)}

与向量垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向量n垂直,所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图8―8）.这个平面称为曲面∑在点M的切平面.这切平面的方程是

Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0) (12)

通过点M(x0,y0,z0)而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是

x?x0y?y0z?z0??. (13)

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量

n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)},就是曲面∑在点M处的一个法向量。

现在来考虑曲面方程

z?(x,y) (14) 令 F(x,y,z) =f(x,y)— z,

可见 Fx(x,y,z)=fx(x,y), Fy(x,y,z)=fy(x,y), Fz(x,y,z)=-1.

于是，当函数f(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)连续时，曲面（14）在点M(x0,y0,z0)处的法向量为

n?{f(x0,y0),f(x0,y0),?1}= 切平面方程为

fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0,

或

z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0) (15)

而法线方程为

x?x0y?y0z?z0??.

fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数z?(x,y)在点(x0,y0)的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数z?(x,y)在点(x0,y0)的全微分，在几何上表示曲面z?(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上点的竖坐标的增量.

如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 cos???fx1?f?f2x2y, co?s?1?fy1?f?f2x2y,

cos??1?f?f2x2y.

这里，把fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别简记为fx, fy。

例 3 求球面x2?y2?z2?14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程。 解 (x,y,z) =x?y?z?14,

n= {Fx, Fy, Fz} = {2x,2y,2z},

n|(1 ,2 ,3) = {2,4,6}. 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0, 即 x?2y?3z?14?0,

法线方程为

222x?1y?2z?3??, 123xyz??. 即

123 由此可见，法线经过原点(即球心).

例1 求旋转抛物面z?x?y?1在点(2 , 1 , 4)处的切平面及法线方程。

22解 (x,y) = x2?y2?1,

n = {fx, fy, -1 } = {2x,2y,?1}, n|(2,1,4) = {4,2,-1}. 所以在点(2,1,4)处的切平面方程为

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0. 即 4x?2y?z?6?0.

法线方程为

x?2y?1z?4??. 42?1

小结：本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分法的应用。

利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角。 作业：P100习题9-6 5、6、9、10．