稳健估计

稳健估计 一、概述

测量数据处理是对一组含有误差的观测值，依一定的数学模型，包括函数模型和随机模型，按某种估计准则，求出未知参数的最优估值，并评定其精度。当观测值中仅包含偶然误差时，按最小二乘准则估计平差模型的参数，将具有最优的统计性质，亦即所估参数为最优线性无偏估计。

统计学家根据大量观测数据分析指出，在生产实践和科学实验所采集的数据中，粗差出现的概率约为

（Huber《Robust Statistics》）。粗差被

定义为比最大偶然误差还要大的误差，如果平差模型中包含了这种粗差，即使为

数不多，仍将严重歪曲参数的最小二乘估计，影响成果的质量，造成极为不良的后果。随着全球定位系统（GPS）、地理信息系统（GIS）、遥感（RS）等先进测量技术的发展，测量数据采集的现代化和自动化，在某种意义上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。因此，如何处理同时存在偶然误差和粗差的观测数据，以达到减弱或消除其对成果的影响，是近二十年来现代测量平差所注意研究的理论课题。

现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型，或归为随机模型。将粗差归为函数模型，粗差即表现为观测量误差绝对值较大且偏离群体；将粗差归为随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型的差异过大。 将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差观测值只具有偶然误差的条件；而将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来不断地改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。 前已指出，在测量数据服从正态分布情况下，最小二乘估计具有最优统计性质。但最小二乘法对含粗差的观测量相当敏感，个别粗差就会对参数的估值产生较大的影响。下面是一个简单的例子：

设某量的真值为10，对其进行了8次观测得：

。

采用最小二乘估计，即取其平均值得

由上例可以看出，由于受粗差观测值的干扰，使最小二乘估计结果失实，与真值偏差较大。 稳健估计（Robust Estimation），测量中也称为抗差估计，正是针对最小二乘法抗粗差的干扰差这一缺陷提出的，其目的在于构造某种估计方法，使其对于粗差具有较强的抵抗能力。自1953年G.E.P.BOX首先提出稳健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人对参数的稳健估计进行了卓有成效的研究，经过众多数理统计学家几十年的开拓和耕耘，至今稳健估计已发展

成为一门受到多学科关注的分支学科。 本章结合测量数据和平差模型的特点，阐述稳健估计的原理以及实用的平差方法。

二、稳健估计原理

稳健估计讨论问题的方式是:对于实际问题有一个假定模型，同时又认为这个模型并不准确，而只是实际问题理论模型的一个近似。它要求解决这类问题的估计方法应达到以下目标：

1． 假定的观测分布模型下，估值应是最优的或接近最优的。

2． 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较小差异时，估值受到粗差的影响较小。

3． 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较大偏离时，估值不至于受到破坏性影响。

稳健估计的基本思想是：在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使参数的估值尽可能避免粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值。稳健估计的原则是要充分利用观测数据（或样本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大准确知道观测数据中有效信息和有害信息所占比例以及它们具体包含在哪些观测中，从抗差的主要目标着眼是要冒损失一些效率的风险，去获得较可靠的、具有实际意义的、较有效的估值。 一、极大似然估计准则

设独立观测样本极大似然估计准则为 或

（5.2.1）

，

为待估参数，的分布密度为

，其

（5.2.2）

二、正态分布密度下的极大似然估计准则 设独立观测样本

，其密度函数为

参数

的极大似然估计准则由（5.2.1）式得

或 （5.2.3）

亦即正态分布密度下的极大似然估计准则就是最小二乘估计准则。 三、稳健估计的极大似然估计准则

稳健估计基本可以分为三大类型，即

估计：又称为极大似然估计，基于1964年Huber所提出的估计理论，

丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健估计理论引入测量界。

估计：又称为排序线性组合估计，在测绘界也有一定范围应用。 估计：又称秩估计，目前在测绘界应用还很少。

由于估计是测量平差中最主要的抗差准则，下面着重对估计加以讨论。

设观测样本

，

为待估参数，观测值

的分布密度为

，

按(5.2.2)极大似然估计准则为

若以

代替

（5.2.4）

，则极大似然估计准则可改写为

对上式求导，得

（5.2.5）

（5.2.6）

其中。

（或）函数，就定义了一个

估计，所以

估计是

由此可见，有一个

指由（5.2.4）或（5.2.5）定义的一大类估计。常用的函数是对称、连续、严

函数之导函

凸或者在正半轴上非降的函数，而且函数常取成满足上述条件的数。

采用

估计的关键是确定

(或)函数。作为一种稳健估计方法，函数

的选取必须满足上述的稳健估计基本思想和参数稳健估计的三个目标。

如果将

函数选为

从而

此为最小二乘准则，它不具有抗差性，就不能认为它是一种稳健的估计方法。

三、基于选权迭代法的稳健估计方法

估计的估计方法有许多种，在测量平差中应用最广泛、计算简单、算法类似于最小二乘平差、易于程序实现的是选权迭代法。 设独立观测值为

，未知参数向量为

，误差方程及权阵为

式中为

系数向量。

估计的函数

（5.3.1）

考虑误差方程，可表述为

（5.3.2）

一、等权独立观测的选权迭代法

设（5.3.1）式中的权阵然估计准则并取

，即

，按估计极大似

函数为（5.3.2）式，则为

（5.3.3）

上式对求导，同时记，可得

对上次进行转置，得

或 （5.3.4）

再令，并将（5.3.4）写成矩阵形式，得 （5.3.5）