高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比推理与证明的渗透应用素材北师大版选修1 - 2

推理与证明的渗透应用

推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功。将推理与证明融合渗透到其它知识中，既体现了知识间的密切联系，也是近年高考考查的热点；推理与证明以其独有的技巧与方法，在高考中占有着特殊的地位和作用。下面选取几个知识视角，举例说明推理与证明在其它知识中的渗透应用。

一、 归纳推理与数列

例1 设{} 是首项为1的正项数列，且（n+1）则它的通项公式

。

+

，

解析：由+，得 （舍去）；

由+，得 （舍去）；

由+，得 （ 舍去）。

所以推测 ，代入等式验证，等式成立。

故 。

点评：本题是根据数列的递推关系式，利用归纳推理归纳猜想出数列的通项公式。归纳推理的过程通常是：选取个体 观察分析 推测结论；其关键在于观察过程中如何发现规律，推测出一般性命题。学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现。

例2 一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆， 表示实心圆）：○○○○○○○○○○

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前为 。

解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题求前到第

个圆所在的段数。

个圆中有多少个实心圆，因此，需找

个圆中实心圆的个数

由于，而

1

。

因此，共有个实心圆。

点评：利用归纳推理发现规律是处理此题的关键所在，而“分段”正是要点所在，它

使规律很清晰地显现出来。

二、 类比推理与几何

例3 已知圆的方程

，则经过圆上一点

的切线方程为

。类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为 。

解析：圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是圆的方程中的一个与分

别用的横坐标与纵坐标替换。故可得椭圆类似的性质为：过椭圆上

一点的切线方程为：。

点评：本题通过圆的一个性质类比得到椭圆一个类似性质，是一种平行类比。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段。类比在数学中应用广泛。数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的。

例4 如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为

，

此四边形内任一点到第条边的距离记为，若 ，则

。类比以上性质，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，

此三棱锥内任一点到第个面的距离

记为，若，则等于 。

a2

1 2 3

1 3 4 ahh

ha

h

P

2

a4 解析：因为

，

，

所以 ，所以 ，即

。

点评：本题是由平面向空间的类比。类比推理的关键是找到合适的类比对象。一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下： 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 合情推理对思维能力有较高的要求，特别是类比题，成为近年高考命题中的热点题型，是高考命题的一道亮丽的风景。

三、演绎推理、直接证明与间接证明与不等式

例5 设函数

，且

，

。求证：

（1）且 ；（2）函数在区间内至少有一个零点；（3）设

、是函数的两个零点，则- 。

解析：（1）∵，∴。

又又

，∴，

,, ∴，∴

,.

。

3

∵，∴。

（2）∵，，

①当一个零点。

②当

时, ∵，∴且, ∴函数在内至少有

时, ∵，∴且, ∴函数在内至

少有一个零点。

综合①、②得，

在区间

内至少有一个零点。

的两根。

（3）∵、是函数的两个零点，则、是方程

∴，。∴

。∵

，∴- 。

点评：本题是二次函数、函数零点与不等式结合的代数推理题，运用了简化三段论形式

进行推理论证，体现了演绎推理的应用。

四、数学归纳法与数列、不等式

例6 已知函数的导数，设

是方程

（

），

是

（1）求的值；

；

（2）证明：对任意的正整数，都有

（3）记

解析：（1）、（3）略； （2）∵

=

∴

,求数列{}的前项和 。

,

4

∴ .

下面用数学归纳法证明当时，成立：

① 当时，=，命题成立。

②假设时命题成立，即，此时，

则当时，，命题成立。

根据数学归纳法可知，对任意的正整数，有成立。

点评：本题考查了函数、导数、数列、不等式及数学归纳法等基础知识。数学归纳法是一种用来证明与正整数有关的命题的重要方法，是高考考查的重点。

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