先把教科书读厚，再把教科书读薄

其实包含了数与代数、图形与几何、概率统计，这三方面内容。再举一个例子，有余数除法。在二年级下册开始学习有余数除法。为什么要学习有余数除法。很多老师回答不上来。这是1924年的民国教材，民国教材从一开始引入除法的时候，就用分数来表示。当数据变大，口算能力不够，要进行笔算的时候，195除以3是整除。但在除的过程中我们先用190÷3，得到的就是18余1，这就是有余数除法。当我们要大数据计算的时候，中间过程必须要有余数除法。所以我以前编教材的时候，一直在迷惑这个问题，为什么前面要用余数除法，后面就用小数来表示了？因为没有学有余数除法，这个问题是解决不了的。那么在这个问题中，在进行除数是一位数的除法时，涉及到什么知识？表内的乘除法及两位数的加减法。如果编教材的时候把这两个内容顺序变化了，那就麻烦了，所以搭建教材结构的时候，特别容易出现漏洞。有时候漏掉一个，后面全都没用了。再看除数是两位数的时候，同样是有余数除法。大家都知道两位数乘除一位数的口算，课标从第二学段移到了第一学段，就是因为这样一种情况。13乘5这样的计算在我们的除法过程中，这是笔算除法，但是里面有口算乘法。因此这些内容在相关的地方要有铺垫。有余数除法和整除有本质的区别吗？有的老师说我们有两种除法，一种是整除，一种是有余数除法。怎么样去理解余数的概念？余数能不能是零？老师们觉得余数可以为零吗？可以！可以比除数大吗？余数其实是可以比除数大的，只不过在大的时候，还要再继续除。现在我们理解的余数就是那个最终不能再被除的余下来的数。但实际上，我觉得我们应该用一种更一般的角度去理解余数，就是剩下来的数。我们不要特别绝对化，包括问能不能是零。我觉得像这样的问题反映了大家在学术上特别较劲，其实是没有多大意义的。要理解余数的真正意义是什么。除法的本质就是分。怎么分？要平均分，平均分才可以用除法。那么分的结果会怎么样？有的时候

分完了，余数是0了，这就是整除。有余数除法和整除是完全没有冲突的概念。那么怎么样去处理好教学的层次？我们在教材上编写了四个例题。老师们有没有理解为什么要编四个例题？每一个例题他的教学要点是什么？第一个例题就是刚才我讲的。我们突出除法的本质，除法的本质就是平均分。最终的余数为什么要比除数小？这不是规定，是归纳。那么例3要从分到算。例2用小棒摆正方形。为什么商要大于1，余数要大于0。当这个数越来越大的时候，每次都是画图去圈，显然不是好方法。竖式计算其实就很简单，口算不够就要用笔算。有的是用短除的方式，各种各样。于是在列竖式里，就出现了一个新的数。我们是先出现有余数除法的竖式，然后再出现整除的竖式，这个过程跟过去不太一样。所以从这点上也可以看出，有余数除法才具有一般性，而余数是0的是有余数除法的特殊性。最后例4才是从算理慢慢过渡到算法，为什么可以这样去算，怎么样去算，这就是算法总结的道理。这样的四道例题的层次就很清晰。我想理解教材应该从前后知识的关系去理解。混合运算和运算定律天天在用，为什么在学完了10以内加减法后安排连加、连减、加减混合的学习？我们在做进位加的时候就是在做连加，在做退位减的时候就是在做连减。所以一年级上册的时候，连加、连减、加减混合主要的目的是为这做铺垫的，不一定是从算法上做铺垫，而是从思路上。课标里写得非常详细，第一学段和第二学段中关于混合运算有什么样的要求。为什么在小学阶段要学习混合运算？价值何在？混合运算只是为了解决实际问题吗？大部分老师认为是为了列综合算式解决实际问题；有的老师想到了更复杂的问题，如当学生算不出来能列方程时是不是只能列出一个混合运算的方程；有的老师说为了思维的完整性，当我们用综合算式来想问题时，思维要高度抽象，更加完整，这些都是理由。那我们要追问，是不是我们在解决实际问题的时候，就不再要求列综合算式了呢？如果不要求

的话，将来孩子遇到实际问题时，列综合算式的能力会大大下降。举个例子：苹果每千克7.8元，梨每千克6元，妈妈买了4千克苹果和4千克梨，一共花了多少钱？列式有不同的方法，题目里隐含了运算定律、乘法分配律。解决这样一个问题，我们可以不列综合算式，可以分步解决。说到方程，如果是这样一类题目：苹果每千克7.8元，梨每千克6元。妈妈买了6千克苹果，还买了一些梨，一共花了70.8元。妈妈买了多少梨？这个时候列方程。这个方程是不是要用综合方式？没有必须。我们可以这样分步算，列一个最简单的方程。所以运算、混合运算、运算定律，我们从名词上就可以看到，都是为运算服务的。那么运算不只是小学的事情，小学更多的是算术，到了中学以后，如果我们都用字母表示，这个时候还能分步吗？不能分步了。因为算不出来，所以这个时候就需要用这种综合的方法来呈现。

作者：丁国忠（人民教育出版社小学数学室编辑，副编审）

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先把教科书读厚，再把教科书读薄 ——例谈基于教科研读的教学设计（二）

通过这种通分的方法，像上面那种就是分步计算的方法，如果你列成下面这种方式，那它其实就是综合算式。如果说是a/12和b/15相加，只能列成这样一个综合算式，这样的情况我们在通分的时候需要加上小括号。那为什么要加上小括号呢？就是为了要保证先算a+b，为了保证先算的层次，如果是这样一种情况，又涉及到了运算定律，提公因式其实就是运算定律乘法分配律的应用。

所以我们在分式运算的时候会大量地用到字母运算，如果你在小学，对这种先算什么后算什么搞不清楚的话，将来到中学的分式运算一定会跌跟斗。所以我想，这个混合运算的主要目的不是为了解决实际问题，但是它对于将来中学的学习有这么重要的作用，所以我们在小学时一定要让孩子学会用一个综合算式的方法，一个正确的综合算式把你解决问题的多个步骤同时表示出来。在一个混合算式中间，先算什么再算什么，和你解决问题的时候先求什么再求什么统一起来，所以这是非常重要的。

第三点，把书读厚的想法，尽量去挖掘数学知识背后的数学思想。实际上我看小学数学很多地方到处都充满了数学思想，而且这种数学思想不是孤立的，往往是融合在一起的。比如六年级下册的例题，关于数学思考方面的整理和复习。6个点可以连多少条线段？8个点呢？孩子在解决问题的时候，就画6个点、8个点，然后一片混乱。我们先不解决这个问题，先看看这个问题有没有碰到过，在前面学排列组合的时候就碰到过这样的问题。“4个队踢球，每两个队踢一场，一共要踢多少场？”我们可以用这种方法（PPT呈现），实际上右边这种方法是更加有序的一种方式，而左边的方法如果对它进行抽象化、数学化，我们往往不是从一个点出发画两三条线段，而是每两个点之间先连起来，最后看看哪两个点之间还没有连，再连起来。这两种模型实际上孩子的思路，不太一样，如果要保证不重不漏应该是右边的更加一般化的方法。前不久在微信上看到的一篇文章里面的一个图（PPT呈现），25个点之间互相连接，图形很美，80个点连出来更美。那么这里面到底有多少条线呢？用你们的模型解释一下为什么是这么多。80个点之间可以连多少条线段？怎么解决这个问题？其实这个方法，不管点是在圆上均匀的还是随意散乱的，都跟解决这个问题是没有关系。当你在解决6个点、8个点的时候，觉得太乱数不过来怎么办？我们从简单的出发，