时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型(2008.11)

判断模型残差序列是否存在

p阶的ARCH过程，通常是对于残差项进行

拉格朗日乘数检验（ARCH LM Test, Engle 1982）

'?对残差平方e（et?yt?xt?）进行辅助回归：

2t

et2??0??1et2?1???pet2?p

检验统计量：F统计量和Obs*R-squared 统计量

2?在不存在ARCH效应的零假设成立的前提下，LM具有渐近的(p)分布。

给定显著性水平?，如果LM???(p),则拒绝零假设，说明模型残差序列

2存在ARCH过程。

21

（二）广义自回归条件异方差模型（GARCH）

如果用ARCH模型描述某些时间序列，阶数p需要取一个很大的值时，通常采用广义自回归条件异方差模型。

2若?t的条件方差?t被写成?t??0??1ut?1???put2?p??1?t?1???q?t?q

则称序列ut服从GARCH（p,q）过程。

实际应用中，GARCH模型的阶数p远比ARCH模型的阶数p要小，GARCH（1，1）模型是被广泛应用的模型，它具有如下形式

2?????u t01t?1???t?1

可以证明GARCH（1，1）模型等价于一个系数呈几何递减的无限阶ARCH模型，同时，它也蕴涵着当前波动的震荡作用随时间递减的规律。

22

（三）其他ARCH类型模型

1．ARCH—M模型

金融理论中经常认为风险较大的资产可以提供较高的平均收益，这在金融市场实际的运作中基本可以得到验证。从金融计量经济建模的角度来看，如果具有集群性的序列其条件方差是风险的一个合适的度量的话，它就应该进入yt的条件期望中。这是由Engle、Lilien和Roberts三人在1987年发现、发展并创造的所谓进入均值的ARCH模型（ARCH-in-mean）,又成为ARCH—M模型，其形式为 yt?x???ht?ut

'tut?ht?t

23

这里，ht为ut的条件方差。如果ht的结构同ARCH模型，则称ut服从ARCH—M（p）过程；如果ht的结构与同GARCH形式，则称ut服从GARCH—M（p,q）过程。参数?捕捉到了在误差项ut中较强烈的可感噪声震荡对yt均值的影响作用。

假如模型旨在解释一项金融资产（如股票或债券）的回报率，那么增加ht的原因是每个投资者都期望资产回报率是与风险度紧密联系的，而条件方差ht代表了期望风险的大小。

Campbell、Lo和Macjinlay在1997年曾经讨论过ARCH—M模型与资本资产定价模型（CAPM）之间的联系。

24