2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．

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【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． （Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望． （ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．

【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为18名男同学中应抽取的人数为故不同的样本的个数为

．

18=3名，

名，

（Ⅱ） （ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， ∴ξ的取值为0，1，2，3． ∴P（ξ=0）=

=

，P（ξ=1）=

=

，P（ξ=2）=

=

，P（ξ=3）=

=

，

∴ξ的分布列为

ξ 0 1 2 P Eξ=0×

+1×

3 +3×0.65，a=

=．

=83﹣0.65×75=33.60．

+2×

（ⅱ）解：∵b=

∴线性回归方程为=0.65x+33.60

当x=96时， =0.65×96+33.60=96． 可预测该同学的物理成绩为96分．

19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD． （Ⅰ）求证：CD⊥AM；

（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

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【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；

（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜

＞|．

【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM． ∵△BCD是等边三角形， ∴OB⊥CD．

∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°， ∴OM⊥CD．

∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面CMD， ∴OM⊥平面BCD． 又∵AB⊥平面BCD， ∴OM∥AB．

∴O，M，A，B四点共面．

∵OB∩OM=O，OB?平面OMAB，OM?平面OMAB， ∴CD⊥平面OMAB．∵AM?平面OMAB， ∴CD⊥AM．

（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB． ∵△BCD是等边三角形，BC=2， ∴，CD=2． 在Rt△ANM中，

∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°， ∴

．

．

∴AB=AN+NB=AN+OM=2．

以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz， 则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），． ∴

，

，

．

设平面BDM的法向量为=（x，y，z）， 由n?

，n?

，∴

，

令y=1，得=． 设直线AM与平面BDM所成角为θ，

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则==．

∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．

20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P． （Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求

的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程． （Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，

，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知

条件能求出

的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，

∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，

∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线C的方程为y2=4x． （Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n）， 直线PM的方程为：y﹣m=

（x+1），

化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0， ∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1， ∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即

=1，

∴=

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，

由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0， 同理，有

∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y

，

t﹣（x0+1）=0的两根，

∴m+n=，mn=，

∴|MN|=|m﹣n|==，

∵

，|y0|=2

，

∴|MN|==2，

直线PF的斜率，则k=||=，

∴==，

∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增， ∴

，

∴，

∴0＜∴

＜．

的取值范围是（0，）．

21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．

（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ） 若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：

．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；

（Ⅱ）得到ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；

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