2020年高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题理(含解析)

考点06 函数的奇偶性与周期性

1．下列函数为奇函数的是( ) A．f(x)＝x C．f(x)＝cos x 【答案】D

1－x【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)＝e＝x≠－f(x)，故不是；对于C，

e

B．f(x)＝e D．f(x)＝e－e

x－xxf(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函数，

故选D.

2．设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( ) A．f(x)是奇函数 C．f(x)的值域为R 【答案】D

【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．

3．对于函数f(x)＝asin x＋bx＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是( ) A．2和1 C．2和－1 【答案】B

【解析】设g(x)＝asin x＋bx＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.

4．已知函数f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1A．－

31C．－

2【答案】B

11

【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.

335．已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是( ) A．c＜b＜a C．a＜c＜b

2

33

B．f(x)在R上单调递增 D．f(x)是周期函数

B．2和0 D．2和－2

1

B． 31D． 2

B．c＜a＜b D．a＜b＜c

1

【答案】B

【解析】因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)， 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)． 所以函数f(x)的周期为4，

又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增， 因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；

b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)， c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，

又因为f(x)在[0，1]上为增函数， 所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.

6．已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x，则f(2 019)＝( ) A．－2 C．－98 【答案】B

【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)， 又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.

7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2x，若f(2－a)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1) 【答案】C

【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)－2x，∴－f(x)＝x－2x，∴f(x)＝－x＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a)＞

2

2

2

2

2

2

2

B．2 D．98

B．(－1，2)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

2

7

8．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0

3为( ) 3A. 54C． 3【答案】D

5755?7??7??5??5?【解析】因为函数以4为周期，所以f??＝f?－4?＝f?－?＝－f??＝ln ，所以ef()＝eln ＝.故选3333?3??3??3??3?D.

9．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝( ) A．0 C．3 【答案】B

【解析】∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．

令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， 即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.

则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，

即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.

10．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为( ) A．－3

B．－2 B．2 D．4

3

B． 45D． 3

3

C．2 【答案】C

D．3

【解析】依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－2)＝－f(2)＝0，结合图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.

??x＋x，x≥0，

11．已知函数f(x)＝?

?－3x，x<0，?

2

若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】B

【解析】由题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.

12．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝( ) A．0 C．－8 【答案】B

【解析】由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故选B.

B．－4 D．－16

?3?13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间?0，?上是增函数，且函数y＝f(x－3)为

?2?

奇函数，则( ) A．f(－31)＜f(84)＜f(13) B．f(84)＜f(13)＜f(－31) C．f(13)＜f(84)＜f(－31) D．f(－31)＜f(13)＜f(84) 【答案】A.

【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)

?3?＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间?0，??2?

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