三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质55632

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：?ABC中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：?ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；

内心：?ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：?ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心

1、O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0

1若O是?ABC的重心，则?BOC??AOC??AOB??ABC故OA?OB?OC?0,

31PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

312、 P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC).

3证明：

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC?0?AG?BG?CG?0，即3PG?PA?PB?PC

1由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

33、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(AB?AC)，??(0，??)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心.

例1 若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

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二、垂心

1、O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OA?OC若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则 故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

2、H是面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC, 同理HC?AB，HA?BC.故H是?ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 3、P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的垂心．

由PA?PB?PB?PC，得PB?(PA?PC)?0，即PB?CA?0，所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB，PA⊥BC． ∴P是△ABC的垂心．如图1.

AECMB

CP

图1

PAOHF图⑷ B4、已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

??ABAC?，??(0，OP?OA??????)，则动点P的轨迹一定通过

?ABcosBACcosC???△ABC的垂心．

例2 P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（） A．外心

B．内心 C．重心 D．垂心

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三、内心

1、O是?ABC的内心的充要条件是

???????ABAC??BABC??CACB?OA???????OB????OC????0

?ABAC??BABC??CACB???????

引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是?ABC的内心的充要条件可以写成

B A e1e2C P OA?e1?e3?OB?e1?e2?OC?e2?e3?0

2、O是?ABC的内心的充要条件也可以是a?OA?b?OB?c?OC?0。 3、若O是?ABC的内心，则S?BOC:S?AOC:S?AOB?a:b:c

故 a?OA?b?OB?c?OC?0或者sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0;

4、已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB?c，AC?b，BC?a ．若

??????aIA?bIB?cIC?0，则I是△ABC的内心．

∵IB?IA?AB，IC?IA?AC，则由题意得(a?b?c)IA?bAB?cAC?0，

??ABAC?， ?∵bAB?cAC?AC?AB?AB?AC?AC?AB???ABAC????bc?ABAC??． ?∴AI?a?b?c?ABAC???cIACBa∵

ABAB与

ACACb分别为AB和AC方向上的单位向量，

∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分?BAC．

同理可证：BI平分?ABC，CI平分?ACB．从而I是△ABC的内心，如图。

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足5、已知O是平面上一定点，A第 3 页 共 10 页

?OP?OA???AB??AC??，??(0，???ABAC?)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的内

?C心．

O??ABAC?由题意得AP?????， ?ABAC??P∴当??(0，??)时，AP表示?BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点AP的

轨迹一定通过△ABC的内心，如图。

例3 O平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

四、外心

1、O是?ABC的外心?OA?OB?OC,若O是?ABC的外心则

S?BOC:S?AOC:S?AOB?sin?BOC:sin?AOC:sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C

故sinAOA?sinBOB?sinCOC?0。

2、 已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2?OB2?OC2，则O是△ABC的外心．

若OA2?OB2?OC2，则OA2?OB2O?C2，∴OA?OBO?C，则O是△ABC的外心，如图1。

C B ABMP

图1

图2

OOAC

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