3.2.1对数及其运算(两课时)

课题 §3.2.1 对数及其运算（一） （一）学习目标

知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。

过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。 情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。

（二）重点难点 重点：对数的定义

难点：对数的概念、对数的符号表示

（三）教学内容安排

1．复习引入

细胞分裂x次后，细胞个数为y?2x；给定分裂次数x，可求出细胞分裂后的个数y， 分裂次数x 1 2 细胞个数y 2 4 3 4 5 6 实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y，计算分裂的次数x， 分裂次数x 细胞个数y … … 8 32 64 128 256 … … 又如指数式y?9x中，已知底数9和幂y的值，求指数x，怎样求呢？

2．新授内容

在指数函数y?ax?a?0,a?1?中，对实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一的值y和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一的值x和它对应；我们把幂指数x叫做以a为底 y的对数。

定义：一般地，对于指数式 ab?N ?a?0,a?1?，我们把数 b叫做以a为底 N的对数，记作 b?logaN，读作“数 b等于以a为底 N的对数”，a叫做对数的底数，N叫做真数。

学生举例

例如：42?16 ? log416?2 ; 102?100?log10100?2

4?2 ?log42?121 ; 10?2?0.01?log100.01??2 2探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵loga1?0，logaa?1

∵对任意 a?0且 a?1, 都有 a0?1 ∴loga1?0 同样易知： logaa?1 ⑶对数恒等式

如果把 ab?N 中的 b写成 logaN, 则有 alogaN?N ⑷底数的取值范围(0,1)?(1,??)；真数的取值范围范围(0,??)。

⑸常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数

log10N简记作lgN。

例如：log105简记作lg5 ; log103.5简记作lg3.5.

3、讲授范例

例1将下列指数式写成对数式：

11m（1）54=625 （2）2?6= （3）3a=27 (4) =5.73 （）643例2 将下列对数式写成指数式：

（1）log116??4； （2）log2128=-7；

2（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303 例3计算：（1）log116； （2）log2128=； （3）lg0.01；

2 （4） lg100 （５）log0.41 （６）log2 例4利用科学计算器求对数（精确到0.0001）

1 16 lg1112； lg0.668； lg396； lg0.0345

4、课堂练习：巩固练习（课本第95、96页练习A）

5、小结

6、课后作业：课本第95、96页练习B

（四）教学资源建议

对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当a?0,a?1时，logaN?b?ab?N．所以指数式ab?N中的底数，指数，幂与对数式logaN?b中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由ab?N?a?0,a?1?引出，在这个式子中，已知一个数a和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对ab?N的全面认识

（五）教学方法与学习指导策略建议

对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a和真数N的要求；其次对于对数的性质loga1?0,logaa?1(a?0,a?1)及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段

课题 §3.2.1 对数及其运算（二） （一）学习目标

知识与技能：理解推导对数运算法则的依据和过程，掌握对数运算法则；能较熟练地运用对数运算法则解决问题

过程与方法：通过对数运算法则的探究及推导过程，培养学生的合情推理能力、演绎归纳的数学思想方法；

情感、态度与价值观：通过合情推理和演绎归纳的思想运用，培养学生相互联系相互转化以及从特殊到一般的辩证唯物主义观点，以及大胆探索、实事求是的科学精神。

（二）重点难点

重点：对数运算法则及推导、应用 难点：对数运算法则的探究与证明.

（三）教学内容安排

1．复习引入

如果看到logaN?b这个式子会有何联想?

由学生回答(1)a?0 (2) a?1 (3)N?0 (4)a?N．

从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．

对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：a?a?a2．新授内容

直接提出课题：若a?0,a?1,M?0,N?0,logaM?logaN?log(M?N)是否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立，教师肯定结论的正确，再提出logaM?logaN?? 让学生探究有什么规律? 由学生回答应有logaM?logaN?logaMN成立．

现在它只是一个猜想，要保证其对任意M,N都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?

学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．

证明：设logaM?p,logaN?q则a 得a?a?apqp?qpbmnm?namm?nmnmn，n?a，(a)?a． a?M,aq?N，由指数运算法则

?M?N

?loga(MN)?p?q，

即loga(MN)?logaM?logaN． (板书)

法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．

(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正因数的积的对数等于同一底数的各因数对数的和．

(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得loga(MNP)?logaM?logaN?logaP． (条件同前) (4)利用法则完成下面的运算：(1)log2(32?64) (2)log35?log3

提出新问题：

1 (3)log62?log63 5由学生总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．

M??(a?0,a?1,M,N?0)． NM可由学生说出loga?logaM?logaN．得到大家认可后，再让学生完成证明．

N loga