当前位置：首页 > 第二章 射影映射
（1）当??0，有两个二重点,称为双曲型对合,
（2）当△<0, 没有二重点,称为椭圆型对合, 定理9 直线ξ上没有抛物型对合。
定理10 双曲型对合的两个二重点调和分隔每一对对应点。
证明 设m,n是双曲型对合的两个固定点,x是这个对合中任意一点,且xm,xn,
R(m,n;x,x?)?R(m,n;x?,x)?1 ?R(m,n;x,x)R(m,n;x,x?)?0,(xm,x?R(m,n;x,x?)2?1 R(m,n;x,x?)??1
n,)
?x不是二重点，R(m,n;x,x?)??1
?R(m,n;x,x?)??1
推论,直线上的双曲型对合由两个二重点唯一决定。
如果Ф是ξ上的一个对合,对于ξ上的任何一个点a,必然有aФ= a’,且a??=a,即所有对应点彼此对应。反过来,若在Ф下所有的对应点对是彼此对应的,那么Ф便是一个对合,但实际上,只要Ф有一对不同的对应点彼此对应,那么Ф必定是对合。
定理11 如果Ф是ξ到它自身的射影变换,而且a’= aФ, a=a??，a-a?那么Ф必定是对合。
证明 因为Ф使a和a’彼此对应, a-a? ,所以Ф≠I。
设b是ξ上任意一点,b??b?,那么Ф把a,a’,b,b’变为a’,a,b’, b??。
R(a,a?;b,b?)?R(a?,a;b?,b??)?R(a,a?;b??,b)
?b?b???(b?)??b?这表明Ф2=I。
定理12 直线上的对合由两对对应点唯一决定。
证明 设两对对应点x,y,u,v中至少有一对不是二重点,(例如x,y),这时ξ上存在唯一的射影变换Ф,使
x,y,u?y,x,v
因x、y是一对对应点,彼此对应,故Ф是对合。
若两对点都是二重点,则由定理10的推论知对合唯一决定。
关于直线ξ上非对合的射影变换与对合之间的关系,有下面定理。
定理13 如果直线ξ到它自身的射影变换Ф不是对合,那么它是两个对合的乘积。
2证明 首先,假设Ф＝I那么ξ上总有一个对合Ф1, Ф1＝I,由此Ф＝I＝?1??1?1
2
2
其次,假设Ф≠I,也不是对合。那么直线ξ上至少有一个点a,它不是二重点即
a??a?-a,并且a???a??a,a??a?.那么我们就可以用三对对应点：
a??a?,a?a??,a???a确定一个射影变换?1：
?1:?(a?,a,a?????)??(a?,a??,a,???)
a和a??彼此对应,?1是对合。
计算a又a???1?(a?)?1?a'?1?a?.
??1?(a??)?1?a????a,因此乘积ФФ1使a和a’彼此对应。乘积ФФ1是射影变
换,有一对点彼此对应,所以ФФ1是一个对合,设这个对合为Ф2那么Ф2＝ФФ1,由此得到
?1???2?1??2?1是两个对合的乘积。
根据对偶原理,容易得到关于线束的相应结论,这里不另讨论。 例1 求以5、2为二重元素的对合方程。
解 设????是对合的任意一对对应元素，于是： ?1?(5,2;?,??)?(??5)(???2),即
?(??5)(??2) (??5)(???2)?(???5)(??2)?0 展开后整理得所求对合方程为： 2????7(????)?20?0,2?7?0.
?720例2 试证：直线上双曲型对合的任意两对对应点互相不分隔。 证明 设y,z和u,v是双曲型对合的任意两对对应点。在直线上以y,z,u为参考点建立射影坐标系,设各点的非齐次坐标为y(∞),z(O),u(1),v(v)
对合方程???a11??a122,a11?a12a21?0
a21??a11z(0)?y(?)得a11?0,a12???0
a12?? vvv所以对合方程为 ???, 即????v u(1)?v(v) a21??对于双曲型对合,必有两个二重点,因此v?0,
?R(y,z;u,v)?v?0
?y,z?u,v
例3 直线ξ上有四个不同的点y,z,u,v,且y,z?u,v,试证由y,z和u,v这两个点对所决定的对合是双曲型的。
证明 在直线ξ上以y,z,u为参考点建立坐标系,它们的非齐次坐标依次为(∞),(0),(1),设v的非齐次坐标为v，因y,z?u,v
???????R(y,z;u,v)?v?0
再利用y?z,u?v,确定在ξ上对合Ф的方程为???v?2,??a11?a12a21?v?0,
??是双曲型对合。
对合是一种很基本的射影变换,出现在很多图形中,比如在完全四点形中我们有
图2.14
定理14 (第二笛沙格定理也叫笛沙格对合定理) 任意一条不通过完全四点形顶点的直线ξ与完全四点形的三对对边的交点,是属于同一个对合的三对对应点。(图2.14)
证明 三对点a,a?;b,b?;c,c?在直线ξ上决定一个射影变换Ф。 因?(a,a?;b,c?)??(p,a?;l,m)??(a,a?;c,b?)
??knR(a,a?;b,c?)?R(a,a?;c,b?)?R(a?,a;b?,c)
于是?(a,a?;b,c?)??(a?,a;b?,c) 由于a,a’彼此对应,所以Ф为对合。 第二笛沙格定理的平面对偶定理是：
图2.15
定理15 从平面上任意一个不在完全四线形边上的点向完全四线形三对对顶点投射的三对直线,是属于同一个对合的三个直线对。(图2.15)
利用笛沙格对合定理可以解决对合的作图问题 例4 设已知直线ξ上的对合由两对对应点a,a’；b,b’决定,c是一个已知点,求作这个对合中c的对应点c’。
图2.16
作法 通过a,a’分别作任意直线?, ?’,通过c作任意直线?,但?,?’, ?不
同于直线ξ, ????n ， ?????l，(b?l)???k. (b??n)????m，
(m?k)???c?， c?就是所求的点。(图2.16)
例2 已知两个完全四点形的五对对应边的交点属于一条直线,那么第六对对应边的交点也属于这条直线
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