复变函数与积分变换答案（马柏林、李丹横、晏华辉）修订版，习题1

z3?cosπ?isin3553π??12?32i

⑶3?3i的平方根． 解： 3??223i=6????22??i????12πi6?e4

∴3?13i??π6?e4i?ππ??2kπ?2kπ??4?isin4??64??cos??22?11π?k?0,1?

iππ??∴z1?6??cos?isin??64?e888??411

9

πi99??z2?64??cosπ?isinπ??64?e8．

88??9.设z?e

i2πn,n?2. 证明：1?z???zn?1?0

证明：∵z?e

i?2πn ∴zn?1，即zn?1?0．

∴?z?1??1?z???zn?1??0

又∵n≥2． ∴z≠1

从而1?z?z2+??zn?1?0

i?11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?re.令

???z?a?L???z:Im???0?,

?b???其中b?e.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件.

解：如图所示．

i?

因为L?={z: Im??z?a??=0}表示通过点a?b?且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与

圆相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.

解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=

12．

(3)、1<|z+i|<2

解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>1，且|z|<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。