2021年广东省新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》5.5复数

2021年广东省新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》

§5.5 复 数

最新考纲 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类：

满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数?b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

→

(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)． 2．复数的几何意义

→

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

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→→→

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，→→→Z1Z2＝OZ2－OZ1.

概念方法微思考

1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？

提示 不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．

( √ )

题组二 教材改编

1－i

2．设z＝＋2i，则|z|等于( )

1＋i1

A．0 B. C．1 D.2

2答案 C

1－i?1－i?2－2i

解析 ∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，

21＋i?1＋i??1－i?∴|z|＝1.故选C.

→→→

3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )

A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案 D

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→→→

解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.

4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 C．1 答案 A

2??x－1＝0，

解析 ∵z为纯虚数，∴?∴x＝－1.

?x－1≠0，?

B．0 D．－1或1

题组三 易错自纠

b

5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )

iA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C

b

解析 ∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复

ib

数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.

i

6．(2020·模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B

2－2i?2－2i?·?－i?解析 由题意，∵z＝＝＝－2－2i，

ii·?－i?

∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限．故选B. 7．i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________. 答案 －i

解析 原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.

B．第二象限 D．第四象限

题型一 复数的概念

1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为( )

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