楂樹腑鐗╃悊寰�绉�鍒嗗簲鐢ㄥ畬缇?- 鐧惧害鏂囧簱

?1?dVx???dx（图8．3．6中小圆柱体体积） 2??1?x?2dm???x?dVx ?1??x??dx 2?1?x???2?x?1?x?????22dx

m???x?1?x?x22dx

?2????0?1?x?22dx

????????0?1?x?d?1?x?

2?221?? 21?x0??．

三、液体压力

液面下h深处水平放置的面积为A的薄板承受的液体压力P可以由压强乘以面积得到，即P??gh?A，其中?为液体密度，压强?gh是个常量（匀压强）．

现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？

例8．3．7 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐（如图8．3．4），试计算闸门一侧所承受的水压力．

解:回顾例8．3．3，我们知道抽水做功微元dW为把x处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元dP为

x处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即dP??gxdA

??gx2ydx

2???2?gx?20?x?dx

3??则P?

?1502??2?gx?20?x?dx

3??13

4????g??40x?x2?dx

03??1543?15?2?9800?20x?x?

9?0??29400000?N?．

思考题8.3

1．观察图8．3．4中的阴影部分，思考它在以下问题中的不同含义： （1）梯形面积； （2）梯形闸门侧压力； （3）圆台体积；

（4）圆台形水池的抽水做功． 2．试用一句话论述微元法的精髓．

（用简单方法（公式）得到微元，通过对微元积分解决复杂问题） 练习题8.3

1．在x轴上作直线运动的质点，在任意点x处所受的力为F?x??1?e，试求质点从x?0运动到x?1?x处所做的功．

2．一半径为1m的水井，深10m，水面距地面4m．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素），要做多少功？ 3．物质曲线y?lnx上任意点x处的线密度?l?x??x，求x??3,8?一段物质曲线的质量．

2??4．一底为8cm高为12cm的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5cm处并与水面平行，求薄片一侧所受的侧压力．

练习题8.3答案

1．在x轴上作直线运动的质点，在任意点x处所受的力为F?x??1?e，试求质点从x?0运动到x?1?x处所做的功．

14

解

dW?F?x?dx ??1?e?x?dx

W??1?e?xdx

01??1??x?e?

0?x?1． e2．一半径为1m的水井，深10m，水面距地面4m．如果把水全部抽干（不考虑渗漏因素），要做多少功？ 解

dW?dm?g?x ?dV???g?x ??gx?dx

则W??104?gx?dx

?101g?x2

42?42?g?

?411600??J?．

3．物质曲线y?lnx上任意点x处的线密度?l?x??x，求x??3,8?一段物质曲线的质量．

2??解

y??1 xds?1?y?2dx

?x2?1dx xdm??l?x?ds ??l?x?

x2?1dx x15

?xx2?1dx m??xx2?1dx

381??283?x2?1?d?x2?1?

12312??x?1?2383 ?19． 34．一底为8cm高为12cm的矩形薄片垂直沉没于水中，上底在水深5cm处并与水面平行，求薄片一侧所受的侧压力． 解

dP??gxdA ??gx0.08dx

则P??0.170.05?gx0.08dx

0.17 0.05?1000?9.8?0.04?x2?10.3488?N?．

16