高中物理微积分应用完美

②写出合力F与位移x的关系

③验证简谐运动中质点的机械能守恒。

【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，

Q 如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时

θ 刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε

P 三：微分和积分 ㈠ 简单问题 【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？

分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；

dq

②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i=

d t③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ； ④联立上式，有i=dqd(Q0- CRi)di = = - CR d td td t

q Q0→Q1 tdidi

⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR =

CRd tdx

di

同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？

dxdix

我们观察到，只有y=Ce形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。

dx故可以知道，i = Ce= Ce

x

-t/CR

Q0U0Q0Q0-t/CR

当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce=C；故C= CRCRCRQ0-t/CR

所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e

CR

【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？

㈡微分

1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

didi

2、对于i= - CR 或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方

d tdx程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i△t 。对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就di

有－idt＝ＣＲdi （dt和di称之为微分）,数学变形为i= - CR ，即以上

dt

5

解法中的微分方程。

微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dFdF

dF，它与时间微分dt满足关系式：dF= dt，其中 为F对t的导数。

dtdt

下面是常见的微分公式与微分运算法则：

nn?1①d?c??0 ②dx?nxdx ③d?sinx??cosxdx xx④d?cosx???sinxdx ⑤de?edx ⑥d?u?v??du?dv

????⑦d?cu??cdu ⑧d?uv??vdu?udv ⑨d??u?vdu?udv ??2v?v?㈢积分

在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q= i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。我们来看一下

?t?0??这么做有什么意义：

①从几何上看，对于i-t 图像，q=lim∑i△t=idt

?t?0?就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q= i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。

dq

②前面我们求导用了i= ，积分用了q=idt。可以看出，从某种程

dt

?度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-ee

-t/CR

-t/CR

), i =

Q0

CR

dq

满足求导和积分的运算关系i= 、q=idt。

d t

?对于一般函数F，如果有f=

dF

，那么就有dt

?fdt=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？

n下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：

xn?1?c ①?kdx?kx?c ②?xdx?n?1③cosxdx?sinx?c f ④sinxdx??cosx?c

xx⑤edx?e?c

???现在我们用微积分书写方式来来解答上题。 由Q0=Q+q ； Q=Q0-q ； UQ

则dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；

RCR

6

dQ1即 = - dt ； CR Q对等号两边积分： de1t怎么来求?dQ呢？我们知道 =e， d tQ令F(t)= e，有t=lnF； dFdF则有 =F，即 =dt=d(lnF) ； d tFtt11dQ?= ?Q?CRdt； t-t/CR 有lnQ = - C`，或者Q=Ce； CR 当t=0时，Q(0)=C=Q0 ； -t/CR 所以电容器电量为Q= Q0e 。 1那么dQ= d(lnQ)= lnQ+C。 Q 1 ?dt=？请同学们自己推导。 CR ㈣ 定积分 【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。

???分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有

?ds??vdt??3t2dt，则有：s= t3 +C ；

现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条

件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！

下面我们从物理上考察C这个常数的意义。

t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；……。

我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。

那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题

33

目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（3+C）-（1+C）=8m 。

题目中所要求的位移（速度积分）与积分式

?fdt=F+C中的

bC无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=∑v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：

?afdt=F(b) –

F(a)。这种积分叫定积分。

【练】1、已知导线中的电流按I = t3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。计算在t =1s到t =3s的时间内通过导线截面的电荷量。

【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。

【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少

7

功？

【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？

四：课后习题

1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t，y轴上的坐标为y=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：

⑴物体的速度是多少？

⑵物体所受的合外力是多少? ⑶该物体做什么样的运动？

⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？

2

2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x,试问当位移x为多少时F变为零。

3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E=KQ

请验证Ａ点处的电势公式为：U = 。

r

4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细dML2

杆上OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx，现定义线密度ρ= ,问当x= 处B点的线密

dx2度为何？

1-5

5、某弹簧振子的总能量为2×10J，当振动物体离开平衡位置 振幅处，其势能EP= ，动能

2Ek= 。

6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U对电容为C的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。

7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R的电阻，导轨宽度为L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B。有一导体棒ab垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V0，若其他电阻不计，则 ⑴求导体棒的速度v随时间t的函数表达式；

⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S；

⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I随时间t的函数关系； ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q。

一、变力做功

在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W?F?S．

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KQ , r2