当前位置：首页 > 2018年高考数学（文）二轮复习教师用书：第1部分 专题2 数列 突破点5 数列的通项与求和
突破点5 数列的通项与求和
[核心知识提炼]
提炼1 an与Sn的关系
??S1，n＝1，
若an为数列{an}的通项，Sn为其前n项和，则有an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
在使用这个关系式
时，一定要注意区分n＝1，n≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2 求数列通项常用的方法
(1)定义法：①形如an＋1＝an＋c(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．
(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如
an＋1a2a3an＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式． ana1a2an－1
(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．
1－p(5)构造法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1
nq，得
an?an＋1pan1p1?
n＋1＝·n＋，构造新数列{bn}?其中bn＝n?，得bn＋1＝·bn＋，接下来q?qqqqqq?
用待定系数法求解. 提炼3 数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法、错位相减法是常用的两种方法．
[高考真题回访]
回访1 an与an＋1的关系
1
1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
1－an11 [∵an＋1＝， 21－an1∴an＋1＝＝1－an111－1－an－1
1－an－1
＝ 1－an－1－1
＝
1－an－111
＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2， －an－1an－11
1－an－2
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝
11，∴a1＝.] 1－a12
回访2 数列求和
2．(2012·全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为( )
A．3 690 C．1 845
D [∵an＋1＋(－1)an＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，
nnB．3 660 D．1 830
a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…， a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝
15×10＋234
＝1 830.]
2
3．(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.则
(1){an}的通项公式为__________；
??1??的前n项和为__________． (2)数列
?a2n－1a2n＋1?
(1)an＝2－n (2) [(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋
1－2n?3a1＋3d＝0，?
由已知可得?
??5a1＋10d＝－5，
nnn－1
2
d.
解得?
?a1＝1 ，?
??d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)知
1
a2n－1a2n＋1
＝
1
3－2n1－2n 1?1?1－＝??，
2?2n－32n－1?从而数列?
?
?
?的前n项和为
?a2n－1a2n＋1?
1
11?1?1111n－＋－＋…＋－＝.] ??2n－32n－1?1－2n2?－1113
4．(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x－5x＋6＝0的根，则
2
(1){an}的通项公式为__________； (2)数列?n?的前n项和为__________．
?2?
1n＋42
(1)an＝n＋1 (2)2－n＋1 [(1)方程x－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝
223.
1
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，
23
从而a1＝.
2
1
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
2
?an?
(2)设?n?的前n项和为Sn，
?2?
?an?
ann＋2
由(1)知n＝n＋1，则
22
34n＋1n＋2Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，
2
2
2
2
134n＋1n＋2Sn＝3＋4＋…＋n＋1＋n＋2. 22222两式相减得
1?n＋213?1
Sn＝＋?3＋…＋n＋1?－n＋2
2?224?21?n＋231?
＝＋?1－n－1?－n＋2. 44?2?2所以Sn＝2－
n＋4
2
n＋1
.]
热点题型1 数列中an与Sn的关系
数列中的an与Sn的关系
题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力．
【例1】(1)(2017·郑州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则a1
＝________，S5＝________.
*
??a2＝2a1＋1，
1 121 [由?
?a2＋a1＝4，?
解得a1＝1，a2＝3，
当n≥2时，由已知可得：
an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an.又a2＝3a1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列． 1n∴Sn＝(3－1)，∴S5＝121.]
2
(2)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足的通项公式．
【导学号：04024060】
[解] 由已知，当n≥2时，所以即2
2
2an＝1，
anSn－S2n
2分
2an＝1(n≥2)．求数列{an}
anSn－S2nSn－Sn－1
＝1，
Sn－Sn－1Sn－S2nSn－Sn－1
＝1，
－Sn－1Sn111所以－＝．
SnSn－12又S1＝a1＝1，
4分
?1?1
所以数列??是首项为1，公差为的等差数列，
2?Sn?
6分
11n＋1
所以＝1＋(n－1)＝，
Sn22即Sn＝
2
． n＋1
22－＝－n＋1nn2
． n＋1
8分 10分
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
1，n＝1，??
因此an＝?2
－，n≥2.??nn＋1[方法指津]
12分
给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证n＝1时的情形．
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