（江苏版）2018年高考数学一轮复习专题11.2二项式定理（讲）理-含答案

专题11.2 二项式定理

【最新考纲解读】

要 求 内 容 A B C 二项式定理 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解 √计数原理 决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 【考点深度剖析】

本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上. 【课前检测训练】 【判一判】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Cnarn－rr备注 b是二项展开式的第r项.( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( ) (4)在(1－x)的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( )

(5)若(3x－1)＝a7x＋a6x＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( ) 1. ×2. ×3. √4. ×5. × 【练一练】

1. (x－y)的二项展开式中，第m项的系数是( ) A.Cn C.Cn 【答案】D

【解析】(x－y)展开式中第m项的系数为

nm－1mn7

7

6

9

nB.Cn D.(－1)

m－1m－1

nm＋1

C

1

Cn(－1)

m－1m－1

.

e62.已知n?A.130

?13?1dx，那么??x－x?n展开式中含x2项的系数为( )

??x

B.135

C.121

D.139

【答案】B

3.已知Cn＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于( ) A.63 【答案】A

【解析】逆用二项式定理得Cn＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝729，即3＝3，所以n＝6，所以Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2－Cn＝64－1＝63.故选A.

1

2

3

0

1

22

33

0

1

22

33

nn123n B.64 C.31 D.32

nnnnn6

n60

?22?5

4. ?x－3?展开式中的常数项为________. ?

x?

【答案】40 【解析】Tk＋1＝C5(x)

k25－k?－23?k＝Ck(－2)kx10－5k. ?x?5??

2

2

22

令10－5k＝0，则k＝2.∴常数项为T3＝C5(－2)＝40. 5.(1＋x)(1＋y)的展开式中xy的系数是________. 【答案】168

【解析】∵(1＋x)的通项为C8x，(1＋y)的通项为C4y，∴(1＋x)(1＋y)的通项为C8C4xy，令k＝2，t＝2，得xy的系数为C8C4＝168. 【题根精选精析】 考点1 二项式定理

22

22

8

8

4

kk4tt84ktkt?1?23【1-1】?x?2y?的展开式中xy的系数是________.

?2?【答案】?20

5?n?1?【解析】根据二项式定理可得第n?1项展开式为C?x???2y?,则n?2时,

?2?n55?n3?1??1?C5n?x???2y??10?x???2y???20x2y3,所以x2y3的系数为?20. ?2??2?n25n【1-2】如果(3?2x)

11?a0?a1x?a2x2???a11x11，那么

2

(a1?a3?a5???a11)2?(a0?a2?a4???a10)2的值是________.

【答案】1

【1-3】若(x?【答案】?17)的展开式中x项的系数为280，则a= ________. ax1 23471?1?【解析】因为x项的系数为C????280，所以a??.

2?a?1??*【1-4】已知(1?x?x2)?x?3?的展开式中没有常数项，n?N，且2 ≤ n ≤ 7，则n=______．

x??【答案】5

kn?4kkn?k?1?【解析】二项式定理展开?1?x?x2?Cn，因为不含常数项所以xx??3?化简得?1?x?x2??Cnx??nkn?4k,n?4k?1,n?4k?2又因为2?n?7，所以n=5

【1-5】(1?x)的展开式中，系数最大的项是 . 【答案】第5项

rrrr【解析】Tr?1?(?1)C9x，要使其系数最大，则r应为偶数，又在C9（r?0,1,2,3,r9,9）中，当r?4,

或5时C9 最大，故当r?4,即第5项系数最大. 【基础知识】 1. 二项式定理

?a?b?

n0n1n?1?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb?n?N*?，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，

3

右边的多项式叫做?a?b?的二项展开式，其中的系数Cn (r?0,1,2,3,rn,n)叫做二项式系数．式中的

rn?rrrn?rrCnab叫做二项展开式的通项，用Tr?1表示，即展开式的第r?1项；Tr?1?Cnab.

2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n?1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn. 3. 二项式系数的性质

0n1n?1(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn?Cn，Cn?Cn，

rmn?m，Cn?Cn.

01n?1n(2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当r?二项式系数是递减的．

n?1n?1时，二项式系数是递增的；由对称性知：当r?时，22当n是偶数时，中间的一项C取得最大值． 当n是奇数时，中间两项C(3)各二项式系数的和

n?12nn2n 和Cn?12n相等，且同时取得最大值．

?a?b?n01n的展开式的各个二项式系数的和等于2，即Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n，二项展开式中，偶135?Cn?Cn?Cn?024数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn?Cn?Cn??2n?1，

4.注意:（1）．分清Cnarn?rbr是第r?1项，而不是第r项.

rn?rrr(2)．在通项公式Tr?1?Cnab中，含有Tr?1、Cn、a、b、n、r这六个参数，只有a、b、n、r是

独立的，在未知n、r的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n、r,然后代入通项公式求解.

(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r，再求所需的某项；有时则需先求n,计算时要注意n和r的取值范围以及 它们之间的大小关系.

rn?rrr (4) 在Tr?1?Cnab中，Cn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tr?1项的系数是指化简后

字母外的数． 5．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

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