关于状态空间分析

谐振电路分析

第三章 关于状态空间分析

By：黄青强 Email：huangqingqiang@163.com Q Q：277845897

归一化和符号化

在运用状态空间分析谐振电路之前，我们先来定义归一化和符号化。 基准阻抗定义为

R?R?Lbase0C，其中R0为谐振网络特征阻抗

基准电压定义为

Vbase?Vg，其中Vg为直流母线电压。

基准电流定义为

VVIbase?basegR?

baseR0基准功率定义为

Vg2Pbase?Vbase?Ibase?R 0针对电压，使用符号“M”来归一化，如下： 负载电压归一化为

M?VV，其中V为输出直流电压。

base谐振电容电压归一化为 mc(t)?vc(t)V，其中vc(t)为谐振电容电压。 base针对电流，使用符号“J”来归一化，如下：

负载电流归一化为

J?II，其中I为输出直流电流。

base谐振电感电流归一化为

i(t)jL(t)?LI，其中i(t)为谐振电感电流。 baseL 当谐振转换器含有变压器时，以上基准变量须在相应的等式里乘以变压器的匝比。使用谐振频率f0对开关频率以及角频率进行归一化是非常容易的，如下：

1

(3-36)

(3-37)

(3-38)

谐振电路分析

基准频率定义为

fbase?f0?12?LC

基准角频率定义为

?0?1LC

开关频率归一化为

F?fsf0，其中fs为开关频率

任意一个时间间隔的角度定义为 a???t0X，其中tX为任一时间间隔。 (3-39)

有一些关于串联谐振的文献也会使用到下面的符号： 开关半周期的角度定义为

???S??，其中T为开关周期。 02SFT二极管导通角度定义为

???t?

0晶体管导通角度定义为

?t (3-40)

0?当进行精确的时域分析或者状态空间分析时，Q使用负载电阻R来定义，如下

RQ?0，串联谐振转换器中 RQ?RR0，并联谐振转换器中 (3-41)

最后需要定义的是串联谐振转换器中的模式系数k以及分谐波个数?，CCM模式下开关频率的范围如下 分谐波个数定义为

??k?1?(?1)2k0?f?sk?1ff0k 或者

1k?1?F?1k，其中k为整数。 (3-42)

(3-43)

例如开关频率fs?0.4f的CCM模式暗示着k?2,??3。

0

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谐振电路分析

串联谐振电路的状态空间轨迹

首先让我们来检查串联谐振电路的时域响应。图3.12所示的是一个被直流电压V所激励的

T

串联谐振电路。正如第四章节所介绍的，串联谐振转换器在每个子区间里可以简化成如图3.12所示的电路。此电路的状态方程为

?VT?vc(t) dtdv(t) CC?iL(t) (3-44)

dtLdiL(t)现在我们使用前面章节归一化和符号化所介绍的公式来对此状态方程进行归一化，注意到

图3.12 串联谐振电路， 由直流电压源V激励 L?R0T?0和C?1?0R0 (3-45)

其中?0是谐振角频率，R0是谐振网络特征阻抗，正如式(3-36)和(3-39)所定义的一样。将式(3-45)、式(3-36)、式(3-39)带入式(3-44)得

1djL(t)

?0?0dt?MT?mc(t)1dmc(t)dt (3-46)

?jL(t)其中MT=

VTVg。式(3-46)是一个二阶线性常系数微分方程，其解为

图3.13 用参数来表示圆

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谐振电路分析

mC(t)?Acos(?0t??)?MTjL(t)??Asin(?0t??) (3-47)

其中常数A和?由临界条件确定。可以看出式(3-47)包含有一个表征电路直流状态的直流分量mC?MT(或者vC?VT)和一个表征谐振电路交流响应状态的正弦分量。

图3.14画出了式(3-47)的归一化状态空间轨迹，其中mC(t)和jL(t)作为变量参数，时间t作为隐参数。式(3-47)的解表明了一个位于状态空间半径为A的圆。如果半径A等于0，那么这个圆就变成位于圆心(MT,0)的一个点，这个点跟电路的直流分量相一致。随着时间的增加，式(3-47)的解将沿着这个圆按顺时针方向转动。由于谐振电容和谐振电感是串联关系，从归一化状态空间轨迹中可以看出当谐振电感的电流为正时，谐振电容的电荷和电压将慢 慢增加。通常情况下，一个二阶谐振临界阻尼状态下的归一化状态空

间轨迹是一个圆，这个圆的圆心就是谐振电路

的直流分量解，圆的半径由jL和mC来决定，并且保持不变。式(3-47)和图3.14表明了归一化状态空间的轨迹和时间的关系。在t1的时间间隔里，轨迹在状态空间中移动了?0t1角度。所以谐振电路的时域响应时间跟归一化状态空间里的角度就很容易的关联在一起。

图3.14 式(3-47)的归一化状态空间轨迹

并联谐振电路的状态空间轨迹

并联谐振转换器经常会让人产生误解，因为其负载和谐振电容是并联关系，而谐振电容和谐振电感是串联关系。因此，并联谐振的时域响应和归一化状态空间轨迹跟串联谐振相同。 正如第五章所示，并联谐振

电路在每个子区间里可以简化成如图3.15所示的电路形式。图3.15和图3.12的区别仅仅是增加了一个恒

流源IT。这个外加的恒流源IT的影响仅仅

是平移了电路的直流

图3.15 并联谐振电路。由恒压源VT和恒流源IT激励 分量解以及圆心位置而已。

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