求二元函数极限的几种方法

x2y2122，令 lim2?lim?0x?y?t，知 ，

x?0x?y2x?011y?0y?0?y2x21lntlim(x2?y2)ln(x2?y2)?limtlnt?lim?limt??limt?0 x?0t?0t?01t?0t?01y?0?2tt故原式=e0?1；

2.12运用洛必达法则求二元函数的极限

例21 求

lim[sin(x2y?xy2)(xy)]．

(x,y)?(0,0)解: 由第一章定理7洛必达法则可知

(x,y)?(0,0)lim[sin(x2y?xy2)(xy)]

??1[cos(x2y?xy2)(2xy?y2)x?cos(x2y?xy2)(2xy?y2)y](x,y)?(0,0)2xylim3lim[cos(x2y?xy2)(x?y)]?0 2(x,y)?(0,0)2.13利用定义求二元函数极限

例22 用定义验证：lim?x,y???1,1?x?2?xy?y2?3．

?解: x2?xy?y2?3??x2?1???y2?1???xy?1 =

?

?x?1??x?1???y?1??y?1???x?1?y??y?1?

=?x?1??x?y?1???y?1??y?2??x?1x?y?1?y?1y?2，

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限定??0，则x?1?1,y?1?1. 从而

x?y?1?x?1?y?1?3?x?1?y?1?3?5，

y?2?y?1?3?y?1?3?4．

故

x2?xy?y2?3?5x?1?4y?1?5?x?1?y?1?．

???设?为任意正数，取??min?1,?，则当x?1??,y?1??,?x,y???2,1?时，就

?10?有x2?xy?y2?7?5?2??10???．

和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制．

在二元函数的定义中，要求P(x,y)任意方式趋于P0(x0,y0)时，函数f(x,y)都无限接近于A．因此，很容易得到：若在f?x,y?的定义域内存在两条不同的连续曲线y?g?x?,y?h?x?，且当x?x0时，g(x)y0,h(x)y0，但函数式

f?x,y?沿着这两条曲线逼近?x0,y0?时的极限却不同，或者一个存在，另一个不

存在，则二元函数f?x,y?在此点不存在极限．

就这样，一道题有几种解法，哪个方法比较简单，比较合适就用哪个方法.

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