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存在；通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点
p?x,y?不仅任何路径而且还必须任意方向；
2.9 利用极坐标法
当二元函数中含有x2?y2项时，考虑用极坐标变换：x??cos?,y??sin?通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参量?的函数g(?)，进而求二元函数的极限.
例16 计算
lim(x2?y2)sinx?y 22x?y(x,y)?(0,0)解: 极限中的二元函数含有x2?y2，令x??cos?,y??sin?，使得
0?(x2?y2)sinx?y(sin??cos?)2??sin??2 ，22x?y?(sin??cos?)?0
lim0?0,lim?2?0，由
??0??0夹逼准则得，lim?2sin??0?所以，
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)sinx?y?0.
x2?y2xy2例17 求极限lim. x?0x2?y4y?0解：若令t为变量，使x?tcos?,y?tsin?且???o,2??，则
xy2tcos?sin2?，当?x,y? ??0,0?时，t?0.对任意固定的? ?0?22224x?ycos??tsin?xy2xy2上式均趋于0，但不能下结论说lim=0.事实上lim不存在，这只x?0x2?y4x?0x2?y4y?0y?09
xy2k?让?x,y?沿着任意方向y?kx趋于定点(0,0)，此时lim. 2x?0x2?y4k?1y?0=在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a；若化简后的函数为g(?,?)，但对于某个固定的?0,g(?,?0)?0，仍不能判断函数的极限为a.
2.10 利用累次极限法
一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数f(x,y)满足定理2的条件，就可以利用累次极限limlimf(x,y)或limlimf(x,y)来计
x?x0y?y0y?y0x?x0算极限.
定理2 若f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限
x?x0y?y0y?y0x?x0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)与两个累次极限
limlimf(x,y),limlimf(x,y)，则它们必相等.
x4?y4例18 求极限lim
(x,y)?(0,0)x2?y2解:
x4?y4y2(y2?x2)2?x??y2，?对任意2222x?yx?yx4?y4x4?y420x?U(0,?),lim2?x一致的成立；而对y?U(0,?),lim2?y2存在，22y?0x?yx?0x?y0根据定理1，得
x4?y4x4?y42lim?limlim?limx?0. (x,y)?(0,0)x2?y2x?0y?0x2?y2x?0这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：
（1） 用先估计后证明法：
解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量，故极限
10
应为0，定义证明：
x4?y4x4y422?0???x?y???0, 因为 2，故要使22222x?yx?yx?y?x4?y4?? ，?(x,y):x??,y??则??,只要取4x2?y2x4?y4???22?0?x?y?????， 22x?y442x4?y4故 lim?0.
(x,y)?(0,0)x2?y2 （2）用极坐标法
解 令 x??cos?,y??sin?，因为
x4?y4?4(cos4??sin4?)24420?2???(cos?sin?)?2?，22x?y?lim0?0,lim2?2?0，?由夹逼准则得，lim?2(cos4??sin4?)?0，
??0??0??0x4?y4?0. 所以，lim(x,y)?(0,0)x2?y2例19求函数f?x,y?=xsin11?ysin的极限. yx??11?11?解：lim?xsin?ysin??limlim?xsin?ysin? 当x?0，以y为常数
?x,y???0,0?yx?y?0x?0?yx??1时，limsin 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然，这种计算法是错的；
x?0x因为
??11?1?1??当x?0lim?xsin?ysin??lim?xsin??lim?ysin?中，
x,y?0,0x,y?0,0?x,y???0,0?????????yx?y?x????1为有界量， y11
时，x为无穷小量；y?0时，sin从而得
?x,y???x0,y0?limxsin11?0，同样limysin?0；所以
?x,y???x0,y0?xy??11?1?1??lim?xsin?ysin??lim?xsin??lim?ysin??0； ?x,y???0,0?yx??x,y???0,0??y??x,y???0,0??x?? 此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性，所以应该要注意下列三点：
一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在；
xy2xy2xy2xy2例：lim中：limlim2不?limlim2?0但limy?0x?0x?y4x?0y?0x?y4?x,y???0,0?x2?y4?x,y???0,0?x2?y4存在。
二）虽然重极限存在，但不一定两累次极限存在； 例：
?11?lim?xsin?ysin?中，?x,y???0,0?yx?????11?11?11?lim?xsin?ysin??0limlim?xsin?ysin?，limlim?xsin?ysin?y?0x?0?x,y???0,0?yx?yx?x?0y?0?yx???两都不存在；
三）两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存在性；
2.11 利用取对数法
这一方法适合于指数函数求极限.对于二元指数函数，也可以像一元函数那样，先取对数，然后再求极限.
例20 求 lim(x2?y2)xx?0y?022y
解: 设 u?(x2?y2)x222222y，则
x2y22222lnu?xyln(x?y)?2(x?y)ln(x?y)，而 2x?y12
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