天津市和平区2017-2018学年高考数学二模试卷(文科) Word版含解析

又AG?平面ADG，DG?平面ADG，AG∩DG=G， ∴CE⊥平面ADG． ∵CE?平面CDE，

∴平面AGD⊥平面CDE．

（Ⅲ）∵BA⊥AF，BA⊥AD，AF∩AD=A， ∴BA⊥平面ADEF．

∴∠BFA即为直线BF与平面ADEF所成角． ∵

，

∴∠BFA=45°． ∵BF∥CE，

∴直线CE与平面ADEF所成的角为45°．

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=1﹣（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若{Sn+λ（n+

）}为等差数列，求λ的值．

．

【考点】等比关系的确定；数列递推式． 【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．

（II）利用等比数列的前n项和公式、等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得Sn=2﹣2an+1，① 当n≥2时，Sn﹣1=2﹣2an，②…（1 分） ①﹣②，得an=2an﹣2an+1，…（3 分） 故

（n≥2）．…（4 分）

因为a1=1，

，…（5 分）

．…（6 分）

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，故

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得．…（8 分）

由为等差数列，

则即故

解得λ=2．…

19．设椭圆C：

，，

， ，…

成等差数列．…

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且A（a，0）、B（0，|F1F2|．

b）满足条件|AB|=

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若坐标原点O到直线AB的距离为

，求椭圆C的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P（﹣2，1）的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰

为线段MN的中点，求直线l的方程． 【考点】椭圆的简单性质．

B的坐标求得|AB|2=a2+b2，【分析】（Ⅰ）由A，结合再结合隐含条件求得离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=

，写出直线AB的方程，由O到直线AB的距离为

，得

，可得2c2=a2+b2，

，联立b=，求得a，b的值得答案；

（Ⅲ）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），把M，N的坐标代入椭圆方程，

利用点差法求得斜率，再由直线方程的点斜式得直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，得|AB|2=a2+b2，而则有2c2=a2+b2=a2+（a2﹣c2），即2a2=3c2，故∴离心率

；…（4 分）

，…（5 分）

，即bx+ay﹣ab=0，…（6 分）

，…（3 分）

，…（2 分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线AB的截距式方程为

依题意，得，…（7 分）

由，解得．

∴椭圆C的方程的方程为；…

（Ⅲ）设M、N两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）， 依题意，可知x1≠x2，且

，

，…

两式相减，得

∵P（﹣2，1）是线段MN的中点， ∴x1+x2=﹣4，y1+y2=2， 则有

．…

，即直线l的斜率为，且直线l过点P（﹣2，1），…

故直线l的方程为，即2x﹣3y+7=0．…

20．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）在x=﹣1处取得极值，且函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）设h（x）=f（x）+（3a﹣1）x+1，证明过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出f′（1），得到关于a的方程，解出即可求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间，求出函数的极值，得到符合条件的m的范围即可；

（Ⅲ）问题等价于方程2t3﹣6t2+3=0有三个不同解，设?（t）=2t3﹣6t2+3，根据函数的单调性求出?（t）的极大值和极小值，从而证出结论． 【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），…（1 分） 当a＜0时，对于x∈R，f'（x）＞0恒成立，

所以，当a＜0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增； …（2 分） 当a＞0时，由f'（x）＞0，解得或， 由f'（x）＜0，解得， 所以，当a＞0时，f（x）在区间在区间

上单调递减．…（4 分）

和区间

上单调递增，

（Ⅱ）解：因为f（x）在x=﹣1处取得极值，

所以f'（1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，故a=1．…（5 分） 则f（x）=x3﹣3x﹣1，f'（x）=3x2﹣3， 由f'（x）=0，解得x=﹣1或x=1．

由（Ⅰ）中f（x）的单调性，可知f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1， 在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．…（7 分） 因为函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点， 而在极大值点左侧存在f（﹣3）=﹣19＜f（1）， 在极小值点右侧存在f（3）=17＞f（﹣1）， 所以m＜f（﹣1）且m＞f（1），即实数m的取值范围（﹣3，1）．…（9 分） （Ⅲ）证明：依题意，h（x）=（x3﹣3ax﹣1）+（3a﹣1）x+1=x3﹣x，… 则h（x）=x3﹣x在点（t，h（t））处的切线方程为y=（3t2﹣1）x﹣2t3．… 若切线过点P（2，1），则1=2（3t2﹣1）﹣2t3，即2t3﹣6t2+3=0． 过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线等价于

方程2t3﹣6t2+3=0有三个不同解．…

设?（t）=2t3﹣6t2+3，则?'（t）=6t2﹣12t=6t（t﹣2），

因为?（t）在R上有唯一极大值?（0）=3＞0和唯一极小值?（2）=﹣5＜0， 且在极大值点左侧存在?（﹣1）=﹣5＜0，在极小值点右侧存在?（3）=3＞0， 因此方程?（t）=0有三个不同解．

所以过点P（2，1）可以作曲线h（x）的三条切线．…