2018年高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

可取n?(0,?1,?2).

设m?(x,y,z)是平面PAB的法向量，则

uuur?22?m?PA?0?x?z?0?，即?2， r?uuu2??y?0?m?AB?0?可取m?(1,0,1).

n?m3则cos?， ??|n||m|3所以二面角A?PB?C的余弦值为?

【答案】(1)证明略；(2) 10。 53. 3【解析】分析：(1) 取PA的中点F，连结EF，

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为

BF，由题意证得CE∥BF，利用线面平行的

判断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标

两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关系，求得半平面的法向量：m?0,?6,2，键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二n??0,0,1?，然后利用空间向量的结论可求得二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.

【例7】【2017课标II理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

面角M-AB-D的余弦值为??10。 5解析：（1）取PA的中点F，连结EF，BF。 因为E是PD的中点，所以

AB?BC?点。

1AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中1∥,EF?AD, EFAD22o（1）证明：直线CE// 平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为

由?BAD??ABC?90得BC∥AD，又

BC?1AD, 245o ，求二面角M?AB?D的余弦值。

所以EF∥BC。四边形BCEF为平行四边形，

CE∥BF。

又BF?平面PAB，CE?平面PAB， 故CE∥平面PAB。

uuur（2）由已知得BA?AD,以A为坐标原点，AB的方向为

?2?x?1?2?uuur?x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐由①，②解得 ?y?1(舍去)，

标系A?xyz，

则A?0,0,0?，B?1,0,0?，C?1,1,0?，P?0,1,3?，uPCuur?(1，0，?3),uABuur?(1，0，0)，

设M?x,y,z??0?x?1?则

uBMuuur??x?1,y,z?,uPMuuur??x,y?1,z?3?，

因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n??0,0,1?是底面ABCD的法向量，

所以cosuBMuuur,n?sin45o，

z??2x?1?2?y?2， 2z2即?x?1?2?y2?z2?0。

①

又M在棱PC上，设uPMuuur??uPCuur,则 x??,y?1,z?3?3?。

②

???z??6?2??x?1?2??2?y?1。 ???z?6?2所以M??1?2??2,1,6?2??， ?从而uAMuuur???2?1?,1,6??22??。 ?设m??x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则

?uuuu?m?AMr??即

?uuur0,?m?AB?0,????2?2?x0?2y0?6z0?0, ??x0?0,所以可取m??0,?6,2?。 于是 cosm,n?m?n10mn?5， 因此二面角M?AB?D的余弦值为105。 【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确

计算。

(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=

m?nmn。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

【例8】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

由题设及（1）知，OA,OB,OC两两垂直，以O（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

uuuruuur为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为

单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

O?xyz.则A?1,0,0?,B0,3,0,

??7【答案】(1)证明略；(2) 7.

【解析】（1）由题设可得，?ABD??CBD，

C??1,0,0?,D?0,0,1? 由题设知，四面体ABCE

的体积为四面体ABCD的体积的

1，从而E到平面221从而AD?DC ,又?ACD是直角三角形，所以ABC的距离为D到平面ABC的距离的，

?ACD=900,取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO,

又由于△ABC是正三角形，故BO?AC.所以?DOB为二

即E为DB的中点，得E??0,??31?,? . ?22?

uuur故AD???1,0,1?,面角D?AC?B 的平面角.在Rt△AOB中，

BO2?AO2?AB2 .

又AB?BD ，所以

uuuruuur?31?AC???2,0,0?,AE????1,2,2?? .

??设n=?x,y,z?是平面DAE的法向量，

BO2?DO??BO2?AO??AB2?BD2 ，

故?DOB?90o .所以平面ACD⊥平面ABC. （2）

uuur?x?z?0,???ngAD?0，?则?uuu即? r31y?z?0。??ngAE?0，??x??22可取n??1,???3?,1? .设m是平面AEC的法向?3?uuur??mgAC?0，量，则?uuu同理可得m?0,?1,3 .r??mgAE?0，??n?m7则cosn,m? .?nm7证、计算；⑤转化为几何结论．

所以二面角D-AE-C的余弦值为 精彩解读

7 . 7【命题意图】考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本

以选择填题或解答题的形式出现，难度中档.

【试题来源】新课标人教A版 选修2-1第109页，例题4

【母题评析】需要明确运用空间向量法求解二面角的基本

【难点中心】关于空间角计算的难点在于，概念

步骤，建系，找点求出法向量，向量数量积求二面角余弦 不清，在较为复杂的几何环境下无法准确的找出

空间角对应的平面角。即空间想象能力不足。

【思路方法】思路方法上；运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论