2018年高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

第65题 空间角的计算

I．题源探究·黄金母题

【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD?底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF?PB交PB于点F.

（3）解:已知PB?EF,由(2)可知PB?DF,故

P?EFD是二面角C-PB-D的平面角.

FE设点F的坐标为(x,y,z),则PF?(x,y,z?1).

DA图3.2-7CB

因为PF?kPB,所以PB?DF?0, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,

(1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB?平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）60.

【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.

0

1112，点F的坐标为(,,)。 333311又点E的坐标为(0,,)，

22111所以FE?(?,,?)，因为

366uuuruuurFE?FDcos?EFD?uuuruuur?，

FEFD所以k?zP1111121(?,,?)?(?,?,?)366333?6?1

1266?363即?EFD=60，即二面角C-PB-D的大小为60.

0

0

FE【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此

DAx图3.2-8CyGB

例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.

II．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标II理10】已知直三棱柱

??C??1?1C1中，???C?120o，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1所成角的余弦值

为（ ）

角的范围。

【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形

ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿

直线AC将△ACD翻折成△?CD?，直线AC与?D?A．

3 B．2310 D．

3515所成角的余弦的最大值是______． 5C．

【答案】C

【解析】分析：如图所示，补成四棱柱

ABCD?A1B1C1D1 , ?BC1D,QBC1?2,

则所求角为

【答案】

6 9【解析】分析：设直线AC与BD'所成角为?．

BD?22?1?2?2?1?cos600?3,C1D?AB1?5设O是AC中点，由已知得AC?6，如图，

因此cos?BC1D?210 ，故选C。 ?55以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由

A(0,6306,0)，B(,0,0)，C(0,?,0)，222作DH?AC于H，翻折过程中，D'H始终与

【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是?0,因此可设D'(则OH?CD216， AC垂直， CH???CA6661?530，DH?， ?36630630cos?,?,sin?)， 636???，当?2??uuur3030630cos??,?,sin?)， 则BD'?(6236ruur与CA平行的单位向量为n?(0,1,0)，

所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成

uuurruuurrBD'?n所以cos??cos?BD',n??uuurr＝

BD'n63，所以cos??1时， 9?5cos? D．β<γ<α 【答案】B

【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等.

【例5】【2017课标3理16】a，b为空间中两条

cos?取最大值z6． 9互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边

AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

CHOAyDD'③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°.

Bx其中正确的是________.（填写所有正确结论的编

号）

uuur【答案】②③

【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C?平行的单

rruuuu【解析】由题意，AB 是以AC为轴,BC为底面

位向量n和?D?，进而可得直线?C与?D?所成角的余

半径的圆锥的母线，由AC?a,AC?b ，又

弦值，最后利用三角函数的性质可得直线?C与?D?所

成角的余弦值的最大值．

AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作

【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体D–ABC（所BDPa ，交底面圆C 于点D，如图所示，连结有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上DE，则DE⊥BD，?DEPb ，连结AD，等腰△ABDBQCR的点，AP=PB，??2，分别记二面角D–PR–Q，

中，AB?AD?2 ,当直线AB与a成60°角QCRAD–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则

时，?ABD?60o ，故BD?2 ，又在

Rt△BDE 中，BE?2,?DE?2 ，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性BF?DE?

2 ,?△ABF 为等边三角形，

即AB与b成60°角，②正确，??ABF?60o ，

A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ①错误.由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB 与a 所成解析：（1）由已知?BAP??CDP?90?，得的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③.

AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从

而AB⊥平面PAD.

又AB ?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面PAD内作PF?AD，垂足为F， 由（1）可知，AB?平面PAD，故AB?PF，

uuur可得PF?平面ABCD.以F为坐标原点，FAuuur的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如

【例6】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，图所示的空间直角坐标系F?xyz.

AB//CD，且?BAP??CDP?90o.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

o（2）若PA=PD=AB=DC，?APD?90，求二面角A-PB-C由（1）及已知可得A(2,0,0)，P(0,0,2)，

22的余弦值.

【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD ，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥

B(2,1,0)2，

C(?2,1,0)2.所以

r平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立uuuuuuruuur以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单

uuur22PC?(?,1,?)，CB?(2,0,0)，

22uuuruuur22,0,?)，AB?(0,1,0). 位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设PA?(22n?(x,y,z)是平面PCB的法向量，m?(x,y,z)是平面

设n?(x,y,z)是平面PCB的法向量，则

PAB的法向量，根据垂直关系，求出n?(0,?1,?2)和

m?(1,0,1)，利用数量积公式可求出二面角的平面角.

uuur?22?n?PC?0x?y?z?0???，即?2， r2?uuu??2x?0?n?CB?0?