等价无穷小量的应用及推广

3.3等价无穷小量在级数的敛散性的判别中的应用

在正项级数的敛散性的判别中用得较多的是比较法，可以说它也是无穷小量正项级数的敛散性的判别中的一个应用。正项级数的比较法中有以下这几种情况：

unlim设?un和?vn都是正项级数，如果n??v?l，

n??n?1n?1①当0?l???时，?un和?vn同时收敛或同时发散；

n?1n?1??②当l?0时，若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；

n?1n?1??③当l???时，若级数?vn发散，则级数?un也发散。

n?1n?1?? 通过上面的这几种形式可以知道，对①中l?1时，由于级数?vn和?un是等价无

n?1n?1??穷小量，而由比较法的极限形式可以知道，?vn和?un此时具有相同的敛散性。所以

n?1n?1??说，当已经知道了?vn和?un中的某一个的敛散性的时候，另一个的敛散性也就可想

n?1n?1??而知了 。

??1??例7 判定??sec???1?的敛散性。

?n??n?1???1?sec???1n1lim??2n??11?11??1?2n解 ?lim??n??,?0,此时sec?1??，又因为??2??n??1n22?n2n??n?2n???1??1收敛，所以???sec?n??1?也收敛。 2n???n?1?n?1?例8 判定?1的敛散性。 1?n?n?1ln?? 12 1

1??1n1ln(1?n)解 因为lim发散。 ?lim?1，而?发散，所以?n??n??ln(1?n)n11?n?n?1n?1ln?n上面的两个例子充分的说明，利用等价无穷小量判断函数的敛散性是非常方便的。 由此我们可以知道，简单的运用洛必达法则、等价无穷小量和泰勒公式等相关的知识中的一种不一定能得到最好的效果，甚至会让解题变得更加困难。所以这就要求我们熟练掌握这些知识，并加以适当的运用，才能得到我们想要的结果。

4.等价无穷小量的推广

4.1 等价无穷小量性质的推广

⑴?~??,?~??,且lim证明 因为

1?1??1????lim?lim??????lim??(?)

1??1????????1??????????c(??1),则???~?????。 ? ?lim1?c1??????lim1?1?c???????????lim1?c?1 1?c所以，???~?????。

但是在解决这类问题的时候，往往在⑴上忽略了“lim篇一律的认为“若?~??,?~??,则有???~?????”。

⑵在同一变化过程中，f(x)~?(x),g(x)~?(x)，且lim(1??(x)) lim(1?f(x))证明 因为lim(1?f(x))1g(x)??c???1?”这个条件，千?1?(x)存在，则

1g(x)1?lim(1??(x))?(x)。

?exp(limln(1?f(x)))

g(x)?exp(limln(1?f(x))?(x)1ln(1??(x)))

ln(1??(x))g(x)?(x)1ln(1??(x))?exp(lim)?lim(1??(x))?(x)

?(x) 12 1

故结论得证。

⑶若且lim?~??,?~??，

A???B??A???B??A??B?A???B??存在，则当且在，则有。 ?0，存lim?limC???D??C???D??C??D?C???D??limA??B?A???B??。 ?lim??C??D?C??D?A?A??1?1A??B??B?B?证明 因为，又?~??,?~??，于是， ?????A???B??A?????A??1B??B??limA?A??A??A??lim??1,lim(?1)?lim(?1)?0， B?B??B??B?从而

A??B??1，即A??B?~A???B??，同理可证C??D?~C???D??，故命题得

A???B??证。

⑷设f(x)、g(x)、h(x)及f1(x)、g1(x)、h1(x)都是拥有同一个自变量的无穷小量。（以下简写为f、g、h及f1、g1、h1）

①若f~f1、g~g1且limf1f存在，且lim1??1，则有(f?g)~(f1?g1)。 g1g1f1f存在，且lim1?1，则有(f?g)~(f1?g1)。 g1g1f1ff?gf?g存在，且lim1??1，则有lim ?lim11。g1g1hh1②若f~f1、g~g1且lim③若f~f1、g~g1、h~h1且lim证明

1?f?gf?lim1①因为lim1f1?g1?fgff1?limg1ff11g(1?)fff1f，又因为lim?lim1??1，故上式

1ggg1(1?1)ff1等于1。

12 1

1?f?gf1②因为lim?lim1f1?g1?fgff1?limg1ff11gff1(1?)lim?lim?1f1fgg1，又因为，故上式

1g1(1?)ff1等于1。

③要证limf?gf?g1f?gh1成立，只需证lim?lim1??1，因为

hh1hf1?g1 (f?g)~(f1?g1)，h~h1，

所以结论得证。

由上面的性质⑴和⑶可以知道，在加减求极限的过程中等价无穷小量是可以进行替换的，这就使得在求函数极限的过程中大大地简化了计算。但是要值得注意的是条件“lim?A???B??，“?c(??1)”?0”的使用。

?C???D??注意：

①在运用无穷小量的替换解决问题时，一般的对于等价无穷小量之间的和、差是不能直接替换的，而只能替换其积商的某一项。

②由上面的性质我们可以知道，对等价无穷小量在和、差层面做了一定的推广，让等价无穷小量的适用范围变得更大，从而使得对函数极限的求解变得更加简便。 4.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的推广

ln(1?3x)例9求x?0sin3x的函数极限。

lim解 方法一（利用等价无穷小量直接替换）

ln(1?3x)3x当?x?0?时ln(1?3x)~3x,sin3x~3x，得 x?0sin3x?lim?1。

x?03xlim方法二（利用等价无穷小量的两个重要极限） 由于limln(1?3x)x?013x?1，limsin3x?1，所以有

x?03xln(1?3x)1ln?1?3x?ln(1?3x)3x3xlim?lim?lim?1。 x?0x?0x?0sin3xsin3xsin3x3x3x方法三（利用洛必达法则，对分子、分母进行求导）

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