2014考研数学易混淆概念分析之高等数学（三）

2013考研数学易混淆概念分析之高等数学（三）

万学海文

考研数学当中的高等数学有很多容易混淆的概念知识点，万学海文数学考研辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为2012年的广大考生们罗列出这些容易混淆知识点以供大家参考复习。

下面，我们讲解的是利用洛必达法则求极限的相关问题。

1、导函数之比的极限值不存在时，不能使用洛必达法则．

2x?cosx例1、求极限lim

x??3x?sinx2x?cosx?2?sinx解：原式?()?lim，由于该极限不存在，所以原极限lim不

x??3x?sinx?x??3?cosx存在．

2．为什么会这样呢？难道洛3必达法则出问题了？显然不是，洛必达法则只能说出导数之比的极限值存在或无穷大时，原极限的情况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．

2、求数列极限时不能直接利用洛必达法则．

此题显然不对，我们可以得到该题目的极限为

例2、求极限limn(e?1)

n??1n 解：利用洛必达法则求解

limne(?n??1n1?2ene?11?1)lim?lnimimen?．1 n??n??11?ln???2nn1n1此题的结果是正确的，但是计算过程是错误的．因为数列中变量n是自然数，它是一系列离散的点，不是连续变量，所以没有导数，不能直接利用洛必达法则

0?求极限．但对于特殊的数列极限和型，可以间接的使用洛必达法则求极限．

0?正确的求解方法是，先求出limf(x)的极限，根据函数极限的性质可得相应

x???的数列极限．

1?2ex11(e?1)xlimx(ex?1)?lim?lim?limex?1正确的解法：因为，x??? x???x???x???11?2xx1x1所以，数列limn(e?1)=1

n??1n11n?2)

n??nn11解：先求函数极限lim(1??2)x取对数后的极限为：

x???xx

2x?12?22211ln(1?x?x)?lnxx2?2x1?x?xxlimxln(1??2)?lim?lim?lim2?1,x???x???x???x???11xxx?x?1?2xx1111所以，lim(1??2)n?lim(1??2)x?e.

n??x???nnxx3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法则时一定要注意题设条件． 例4、设f(x)在点x处具有二阶导数，求极限

f(x?h)?2f(x)?f(x?h)lim． h?0h2错误解答：

(1) 用洛必达法则

f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f'(x?h)?2f'(x)?f'(x?h)?lim lim 2h?0h?0h2h

1f'x(?h?)fx'(?)fx?'(f)x?h'()1?lim[??]f[x'?'(f)x?''()]2h?0hh2

（2）利用洛必达法则

f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f'(x?h)?f'(x?h)lim?limh?0h?0h22h

f''(x?h)?f''(x?h)?lim?f''(x)h?02上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法则求极限时，自变量是h，故分子分母均应是分别对变量h求导数，这时，?2f(x)的导数是0，而（1）式中却想当然的把导数错误的求为?2f'(x)，所以结果是错的．

（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法则时，没有考虑题设条件：f(x)在点x处具有二阶导数．只是可导，我们并不知道在x的一个邻域内是否二阶可导，所以不满足洛必达法则的条件．同样第三步计算也是错误的，因为题设并没有告

f''(x?h)?f''(x?h)f''(x)?f''(x)?诉我们二阶导数在x处连续，故lim是没有根

h?022据的．所以，万学海文提醒考生们一定要小心使用洛必达法则求极限．

f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f'(x?h)?f'(x?h)?lim正确解答：lim

h?0h?0h22h1f'(x?h)?f'(x)f'(x?h)?f'(x)?[lim?lim]?f''(x)

h?0h?02h?h先是利用洛必达法则，再利用导数定义求解．

例3、求数列极限lim(1?0当然也有其它的方法求解：

f(x?h)?f(x)?f?(x)h?f??(x)2h?o(h2), 2!f??(x)2f(x?h)?f(x)?f?(x)h?h?o(h2)．所以

2!f(x?h)?2f(x)?f(x?h)f??(x)h2?o(h2)?lim?f??(x) lim22h?0h?0hh?g?x?,??x?0?例5、设f?x???x，且已知g(0)?g?(0)?0，g??(0)?3，试求f?(0).

????0,??????x?0?f(x)?f(0)g(x)?2,所以由洛必达法则得

x?0x?(0)1g(x)g?(x)1g?(x)?g3???f(0)?lim?lim?lim?g(0?).

x?0x2x?02xx?02x?022问题两则：

解 因为

(1)上例解法中，已知条件g(0)?0用在何处?

(2)如果用两次洛必达法则，得到

g?(x)g??(x)13?lim?g??(0)?.错在何处? f?(0)???limx?02xx?0222小结 万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法则应注意的事项:

①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当x??时,极限中含有sinx,cosx； 或当x?0时,极限式中含有sin,cos时,不能用法则.

②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去； ③每用完一次法则，要将式子整理化简；

④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用；

⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效.

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