航海数学-第一-四章球面几何等

附篇

第一章 球面几何

第一节 球与球面

在空间与一定点等距离的点的集合称为球面，球面所包围的空间称为球，该定点称为球心。球心与球面之间的距离称为球半径，球的所有半径都相等。与球面相交且过球心的线段称为球直径，球的所有直径也都相等。显然，任意两个半径相等或直径相等的球全等。

一、球面上的圆

1．平面与球面相截得球面圆

平面与球面相截的截痕是圆。如附图1-1所示，平面?与球面相截。自球心O向截面?作垂线OO′，在截痕上任取一点Ａ，连结O′A和OA。显然，?OO′A=90?，?OO′A是一直角三角形。于是

２ O?A?r?OA－OO? ２?R2?OO?2

（1-1）

因为OO′是球心到截面?的距离，R是球半径，当截面?的位置确定后，OO′和R是定值，所以r也是定值。由此可见，?平面与球面的截痕是一个以O′为圆心、r为半径的圆。

2．不通过球心的平面与球面相截得球面小圆

如附图1-1，若平面不通过球心，则OO′的长度不为零，圆半径r小于球半径R，这样的圆称为小圆。

小圆的一段圆周称为小圆弧。小圆弧的弧

附图1-1 距是由其所对的圆心角度量的，以角度或弧度

为单位，整个圆的弧距为360?或2?。

3．过球心的平面与球面相截得球面大圆

如附图1-1，平面?′通过球心O，此时OO′的长度为零。由式（1-1）知，当OO′=0时，r=R，即圆半径r等于球半径R。这是球面上半径最大的圆，称为大圆。

大圆的一段圆周称为大圆弧。球面上任意两点之间的大圆弧弧距称为球面距离。大圆弧弧距（球面距离）也是由其所对的圆心角度量的，以角度或弧度为单位，整个大圆的弧距为360?或2?。

4．大圆的性质

1）大圆的圆心与球心重合，大圆平面通过球心； 2）大圆的直径等于球直径；

3）同球或等球上的大圆的大小相等；

4）平行的平面截球面只能得到一个大圆，而可得到无数个小圆。大圆等分球面，大圆平面等分球体；

5）同一球上的两个大圆平面一定相交，交线是两大圆的共同直径（即同一球直径，附图

1

1-2a），因此，相交的两个大圆相互平分；

6）过同一球直径的两端点可作无数个大圆而作不出小圆；

7）过球面上不在同一球直径两端的两点能作且只能作一个大圆（附图1-2b），却能作无数个小圆；

8）球面上两定点间小于180?的大圆弧（称为劣弧）是该两点间最短的球面距离。

a b

附图1-2

证：如附图1-2b所示，过球面上任意两点A、B作大圆弧劣弧AB，过A和B作任意曲线ACD?GB。现将该曲线划分为无穷多的小圆弧AC，CD，DE，?，GB。由于这些圆弧都是无穷小，所以可将它们看作都是大圆弧。由球心Ｏ连结OA，OC，OD，OE，?，OG，OB，得一多面角O－ACD?GB。

由立体几何学可知，多面角中任一个面角小于其它面角之和。即

?AOB??AOC+?COD+?DOE+?+?GOB

即大圆弧劣弧AB?AC+CD+DE+?+GB=球面任意曲线ACDE?GB

这就证明了大圆弧劣弧是球面上两点间的最短球面距离。根据这个原理，船舶从A地航行到B地的理论最短航程线是这两地间小于180?的大圆弧，航海上称此为大圆弧航线。

二、轴、极、极距和极线

1． 轴与极

垂直于一已知圆面（大圆或小圆）的球直径称为这个圆的轴（axis）。轴的两个端点称为这个圆的极（pole），故每个圆都有而且只有一个轴两个极。垂直于同一轴可以有无数个平行圆，其中只有一个是大圆，其余都是小圆。大圆平面平分轴，大圆到两个极的球面距离相等，均为90?。

如附图1-3所示，球直径PP′垂直于圆面abcd和ABCD，因而是这两个圆的轴，P、P′是它们的极。过轴的两极可作无数个大圆（如PbBP′、PcCP′、PdDP′等），这些大圆也都与正交于该轴的圆垂直。

2．极距和极线

极到其圆周上任意一点之间的球面距离都相等，该球面距离称为极距，也叫做球面半径。在球面上，大圆的极距（球面半径）等于90?，小圆的极距（球面半径）不等于90?。如附图1-3，ABCD是大圆，P、P′分别是该大圆的极，A、B、C、D各点的极距分别为PA、PB、PC、PD和P′A、P′B、P′C、P′D。由于相交的大圆相互平分，所以PA、PB、PC、PD与和P′A、P′B、P′C、P′D相等，均为90?。小圆abcd平行于大圆ABCD，P也是该小圆的极，a、b、c、d各点的极距分别为Pa、Pb、Pc、Pd，显然，它们小于PA、PB、PC、PD。

2

因为极所对应的大圆只有一个，所以，大圆弧称为其极的极线，极线必然是大圆弧。如附图1-3中，P点是大圆ABCD的极，而大圆弧ABCD是极P的极线。不难证明，如果球面上一点至某一大圆弧上任意两点的球面距离都是90?，则它们必然互为极和极线。

附图1-3 附图1-4

三、球面角及其度量

球面上两个大圆弧相交构成的角称为球面角，其交点叫做球面角的顶点，两大圆弧称为球面角的两个边。球面角的大小是由两个边所在的平面所构成的两面角度量的。

如附图1-4所示，大圆弧PA、PB相交于P点，构成了球面角?APB，它可简记为?P或P。P是该球面角的顶点，大圆弧PA、PB是它的两个边。设大圆弧BAE是球面角顶点P的极线，则P是大圆弧BAE的极。若PD、PC是过P点所作的大圆弧PB、PA的切线，则球面角可用以下三种方法的任意一种度量：

1）过顶点所作两大圆弧的切线之夹角?DPC。 2）顶点的极线被两个边所夹的劣弧弧距BA。 3）大圆弧BA所对的圆心角?BOA。

第二节 球面三角形

一、球面三角形的定义

在球面上由三条大圆弧所围成的球面部分称为球面三角形（Sphere triangle）（附图1-5），围成三角形的大圆弧是该球面三角形的边，用小写字母表示（a、b、c），由边相交构成的球面角称为球面三角形的角，用大写字母表示（A、B、C），边的交点为顶点。与平面三角形不同，球面三角形的边和角均以角度或弧度为单位度量。球面三角形的三个边和三个角称为球面三角形的六要素。

欧拉（Euler）球面三角形是其六要素均大于0?小于180?的球面三角形。航海上仅应用欧拉三角形。

二、球面三角形的类型

附图1-5

3

球面等腰三角形：三角形中的两个边或两个角相等； 球面等边三角形：三角形中的三个边或三个角都相等； 球面直角三角形：至少有一个角为90°的球面三角形；

球面直边三角形：至少有一个边为90°的球面三角形；

球面初等三角形：有两类，小球面三角形（三个边相对于球半径均很小（角不一定小））和窄三角形（只有一个角及其对边很小）；

球面任意三角形：除上述各类以外的球面三角形。

三、球面任意三角形的边角关系

1．正弦公式

设有球面三角形ABC，如附图1-7，作球心O与三角形各顶点A、B、C的连线得三面锥体O-ABC。从球面三角形的任意一个顶点A作平面BOC的垂线AM，过垂足M作OB的垂线交于N，作OC的垂线交于K，由此构成四个平面直角三角形Rt△AMN、Rt△AMK、Rt△AKO和Rt△ANO。

由于球面角与其所对应的两面角相等，故有：∠ANM=B，∠AKM=C。 又大圆弧距与对应的圆心角相等，得∠BOC=a，∠AOC=b，∠AOB=c。 由Rt△AMK和Rt△AKO得：AM=AKsinC=OAsinbsinC。 由Rt△AMN和Rt△ANO得：AM=ANsinB=OAsincsinB。 于是 sinbsinC=sincsinB，即 得球面三角形的正弦公式：

sinBsinCsinAsinB。同理可证得：。将它们合并，??sinbsincsinasinbsinAsinBsinC （1-4） ??sinasinbsinc 球面三角形的正弦公式虽然简便，但计算结果出现双值性，需要判别其象限，因此不建议初学者使用正弦公式求解球面三角形。

AcbaBC

附图1-6 附图1-7 附图1-8

2．边的余弦公式

将附图1-7中的BOC平面上O、N、M、K各点的相互位置用附图1-8表示，从K作KT⊥ON，则 ON=OT+TN=OKcosa+KMsina。

由于 ON=Oacosc，OK=OAcosb，KM=AKcosC=OAsinbcosC，代入上式，消去公因子OA，得

cosc?cosacosb?sinasinbcosC

同理可证得其它两式。综合得到边的余弦公式为：

cosa?cosbcosc?sinbsinccosA??cosb?cosccosa?sincsinacosB? （1-5） cosc?cosacosb?sinasinbcosC??

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