高考数学（江苏专用，理科）二轮专题整合：40分附加题专项练 必做部分

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。必做部分

1. 如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.

(1)求证：AC⊥EF；

(2)求二面角C－EF－D的大小．

(1)证明 连接BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D共面，

∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，而ED∩DB＝D，∴AC⊥平面DBFE，而EF?平面DBFE， ∴AC⊥EF.

(2)解 如图建立空间直角坐标系．

→

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，E(0,0,2)，由(1)知AC为平面DBFE的→

法向量，即AC＝(－2,2,0)，

→→

又CE＝(0，－2,2)，CF＝(2,0,1) 设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，

→??CE·n＝0，则有?→

??CF·n＝0，

?－2y＋2z＝0，1即?取z＝1，则x＝－2，y＝1， ?2x＋z＝0，

?1?

∴n＝?－2，1，1?

??

→

→1＋2n·AC2

则cos 〈n，AC〉＝＝3＝2，

→

|n||AC|2×22

π

又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以θ＝4.

2．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、34

高二获胜的概率分别为7，7.

(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？

(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．

1

解 (1)先安排参加单打的队员有A23种方法，再安排参加双打的队员有C2种方

法，

21所以，高一年级代表队出场共有A3C2＝12种不同的阵容．

(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.

649648P(ξ＝0)＝343，P(ξ＝2)＝343，P(ξ＝3)＝343， 367227

P(ξ＝4)＝343，P(ξ＝5)＝343，P(ξ＝7)＝343. ξ的概率分布列为

ξ P 0 64343 2 96343 3 48343 4 36343 5 72343 7 27343

649648367227

所以E(ξ)＝0×343＋2×343＋3×343＋4×343＋5×343＋7×343＝3.

3．已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．

(1)分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数； (2)猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明． 解 (1)凸四边形的对角线条数为2条； 凸五边形的对角线条数为5条； 凸六边形的对角线条数为9条． (2)猜想f(n)＝

n?n－3?*

(n≥3，n∈N)． 2

证明 (1)当n＝3时，f(3)＝0成立． (2)假设当n＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝

k?k－3?2. 则当n＝k＋1时，考察k＋1边形A1A2…AkAk＋1.

1°k边形A1A2…Ak中原来的对角线都是k＋1边形中的对角线，且边A1Ak也成为k＋1边形中的对角线；

2°在Ak＋1与A1，A2，…，Ak连接的k条线段中，除Ak＋1A1，Ak＋1Ak外，都是k＋1边形中的对角线，故共计有

k?k－3?

f(k＋1)＝f(k)＋1＋(k－2)＝2＋1＋(k－2) k2－3k＋2k－2k2－k－2＝＝ 22＝

?k＋1??k－2??k＋1??k＋1－3?

＝， 22

即猜想对n＝k＋1时也成立． 综合(1)(2)得f(n)＝

n?n－3?

对任何n≥3，n∈N*都成立． 2

4．设m是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)中ai＝2或－2(1≤i≤2m)．

a2k－1

(1)求满足“对任意的k(k∈N*,1≤k≤m)，都有a＝－1”的有序数组(a1，a2，

2ka3，…，a2m)的个数A；

?2l?

ai?≤4成立，求满足“存在?(2)若对任意的k，l(k，l∈N*,1≤k≤l≤m)都有??i＝2k－1???a2k－1

k(k∈N*,1≤k≤m)，使得a≠－1”的有序数组(a1，a2，a3，…，a2m)的个数

2kB.

a2k－1

解 (1)因为对任意的k满足1≤k≤m，都有a＝－1，

2k则(a2k－1，a2k)＝(2，－2)或(a2k－1，a2k)＝(－2,2)共有2种， 所以(a1，a2，a3，…，a2m)共有2m种不同的选择， 所以A＝2m.

(2)当存在一个k时，那么这一组有2C1其余的由(1)知有2m－1种，所以共有m种，

m－12C1种； m2

当存在两个k时，因为条件对任意的k，l满足1≤k≤l≤m， ?2l?

ai?≤4成立，得这两组共有2C2?都有?m种， ?i＝2k－1???

2m－2其余的由(1)知有2m－2种，所以共有2Cm2种；……， m1m2m依次类推得B＝2C1＋2C2＋…＋2Cm＝2(3m－2m)． m2m2

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