2017届二轮复习 利用空间向量证明空间中的位置关系 专题卷（全国通用）

利用空间向量证明空间中的位置关系

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2016·泉州模拟)设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k= ( ) A.2

B.4

C.-2

D.-4

【解析】选B.由α∥β知n1∥n2,则n2=λn1. 即(-2,-4,k)=λ(1,2,-2), 即错误！未找到引用源。解得k=4.

【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的 是 ( )

A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 【解析】选A.因为α⊥β, 所以n1⊥n2,即n1·n2=0, 经验证可知,选项A正确.

2.(2016·西安模拟)若平面α,β的法向量分别是n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直 D.以上答案均不正确

【解析】选C.因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0. 所以n1与n2不垂直,且不共线. 所以α与β相交但不垂直.

3.若错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。+μ错误！未找到引用源。,则直线AB与平面CDE的位置关系是 ( ) A.相交

B.平行

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C.在平面内 D.平行或在平面内

【解析】选D.由错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。+μ错误！未找到引用源。知,向量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。共面,则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.

4.(2016·珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=错误！未找到引用源。A1D,AF=错误！未找到引用源。AC,则 ( )

A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面

【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.

【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,

则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),

E错误！未找到引用源。,F错误！未找到引用源。,B(1,1,0), D1(0,0,1),

错误！未找到引用源。=(-1,0,-1),错误！未找到引用源。=(-1,1,0),

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=(-1,-1,1),

错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=0, 从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.

5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=错误！未找到引用源。,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )

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A.(1,1,1)

B.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

【解析】选C.由已知得A(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,0),B(0,错误！未找到引用源。,0),D(错误！未找到引用源。,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).

则错误！未找到引用源。=(x-错误！未找到引用源。,x-错误！未找到引用源。,1),错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。,0),错误！未找到引用源。=(0,-错误！未找到引用源。,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c).

则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。令b=1,则n=(1,1,错误！未找到引用源。). 又AM∥平面BDE,所以n·错误！未找到引用源。=0.

即2(x-错误！未找到引用源。)+错误！未找到引用源。=0,得x=错误！未找到引用源。, 所以M错误！未找到引用源。. 二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a= .

【解析】由共面向量定理知错误！未找到引用源。=x错误！未找到引用源。+y错误！未找到引用源。, 即(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4), 即错误！未找到引用源。解得a=16. 答案:16

7.(2016·襄阳模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是 .

【解析】由已知得,错误！未找到引用源。=(0,1,-1),错误！未找到引用源。=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),

则错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。 得错误！未找到引用源。令z=1,得m=(1,1,1). 又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n, 所以α∥β.

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答案:平行

【方法技巧】平面的法向量的求法

(1)设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.

(2)注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为 .

【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以错误！未找到引用源。=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以错误！未找到引用源。=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,

只需错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案:1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2016·石家庄模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.

(1)求证:DE∥平面ABC. (2)求证:B1F⊥平面AEF.

【证明】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),

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