大物B课后题01-第一章 质点运动学

习题精解 1-8

y?2t2?3t3dyv??4t?9t2dtdva??4?18tdt t?1,y(1)??1v(1)??5a(1)??14加速度、速度同向，选A，加速。

1-9

选B

1-10

A球的最高点速度不可以为零 B球的最高点速度 可以为零 选C

1-11某质点的速度为v?2i?8tj，已知t=0时它经过点（3，-7），则该质点的运动方程

为（ ） 解：

??dr因为 v?

dt???所以 dr?2i?8tjdt

??r?t于是有 ?dr??2i?8tjdt

r00????2即 r?r0?2ti?4tj

?????2亦即 r?3i?7j?2ti?4tj

?????? 1

故 r??2t?3?i?4t2?7j

?????1-12 一质点在平面上作曲线运动,t1时刻位置矢量为r1??2i?6j，t2时刻的位置矢量为

???（1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小r2?2i?4j，求：

???和方向；（3）在坐标图上画出r1,r2及 ?r。

解 （1）在?t?t2?t1时间内质点的位移矢量式为

????? ?r?r2?r1??4i?2j??m?

（2）该段时间内位移的大小 ?r?????42???2??25?m?

2该段时间内位移的方向与x轴的夹角为 ??tan?1???2????26.6? 4??2（3）坐标图上的表示如图1.1所示

1-13某质点作直线运动，其运动方程为x?1?4t?t ，其中x 以m 计，t 以s 计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。 解 （1）第3s末质点的位置为

x(3)?1?4?3?32?4(m)

（2）头3s的位移大小为 x(3)?x?0??3(m)

（3）因为质点做反向运动时，有v(t)?0，所以令内经过的路程为

x(3)?x(2)?x(2)?x(0)?4?5?5?1?5(m)

1-14已知某质点的运动方程为x?2t,y?2?t，式中t以s计，x和y以m计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度。 解 （1）由质点运动的参数方程x?2t,y?2?t消去时间参数t得质点的运动轨迹为

22dx?0，即4?2t?0,t?2s因此头3sdtx2 y?2??x?0?

4运动轨迹如图1.2

（2）根据题意可得到质点的位置矢量为

r?(2t)i?(2?t)j

所以t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度为 v?2?rr(2)?r(1)??2i?3j(m?s?1) ?t2?1（3）由位置矢量求导可得质点的速度为 v?r?2i?(2t)j

所以1s 末和2s 末的质点速度分别为

v(1)?2i?2jm(?s和)v(2)?2i?4j(m?s) （4）由速度求导可得质点的加速度为 a?v??2j 所以1s末和2s末质点的加速度为

a(1)?a(2)??2j(m?s)

2

?1?1?11-15湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图所示。设绳子的原长为l0，人以匀速v0拉绳，使描述小船的运动。

解：建立坐标系如图所示。按题意，初始时刻（t=0）,滑轮至小船的绳长为l0，在此后某时刻t,绳长减小到l0?v0t，此刻船的位置为

x?(l0?v0t)2?H2

这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为 v?(l0?vt)v0vdx????0 dtcos?(l0?v0t)2?H2 将其对时间求导可得小船的加速度为

22v0H2v0H2dv a?????3

3dtx22??(l?vt)?H00??其中负号说明了小船沿x轴的负向（即向岸靠拢的方向）做变加速直线运动，离岸越近（x越小），加速度的绝对值越大。

1-16大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32km?h。它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？ 解 鱼跃出水面的速度为v?32km?h?1?1?8.89m?s?1,若竖直跃出水面，则跃出的高度

v2 h??4.03(m)

2g此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。

1-17 一人站在山坡上，山坡鱼水平面成?角，他扔出一个初速度为v0的小石子，v0与水平面成?角，如图所示。（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处，

22v0sin?????cos??????时有有S?。（2）由此证明对于给定的和值时，S在v?0242gcos?2v0?sin??1?。

最大值Smax?gcos2?解 （1）建立如图所示的坐标系，则小石子的运动方程为

?x??v0cos??t? ?12

y??v0sin??t?gt??2当小石子落在山坡上时，有

?x?Scos? ?

y??Ssin??联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的

时间）t所满足的方程为 t?22v0?sin??tan?cos??t?0 g解之得

2v0?sin??tan?cos?? g但t?0时不可能的，因t?0时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为

2v0cos??t2v0sin?????cos??x S? ??cos?cos?gcos2? t?

3

（2）给定v0和?值时，有S?S???，求S的最大值，可令

dS?0，即 d?22v0cos?2???? ?0 2gcos???亦即 ???

42d2S?0，所以S有最大值，且最大值为 此时2d?2v0?sin??1?

Smax?gcos2?1-18一人扔石子的最大出手速度为v0?25m?s?1。他能击中一个与他的手水平距离为L?50m，高为h?13m处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少？ 解 设抛射角为?，则已知条件如图所示，于是石子的运动方程为

x?(v0cos?)t?? ?12

y??v0sin??t?gt??2可得到石子的轨迹方程为

gx2 y?xtan??2 22v0cos?假若石子在给定距离上能击中目标，可令x?L

此时有

gL2 y?Ltan??2 22v0cos?即

gL2gL22 y??2tan??Ltan??2

2v02v02d2yv0dy?0，即在给定已以tan?为函数，令，此时2?0，有tan??dtan?d?tan??gL知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为ymax?12.3m，故在给定距离上不能击中

h?13m高度的目标。

1-19 如果把两个物体A和B分别以速度vOA和vOB抛出去，vOA与水平面的夹角为?，vOB与水平面的夹角为?，试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。

解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图所示，则两个物体的速度分别为

vA??vOAcos??i??vOAsin??gt?j vB??vOBcos??i??vOBsin??gt?j 所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为

vB?vA??vOBcos??vOAcos??i??vOBsin??vOAsin??j

它是与时间无关的常矢量。

1-20 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为?tA，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为?tB，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求

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