高中物理 专题培优练（二）天体运动中的“一条定律、两个思路、三种模型”粤教版必修2

解析：(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G质量为m的物体在地球表面时有mg＝G2 3gR2T2联立得r＝2。

4π

MM月?2π?2r

＝M月??r2?T?

MmR(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据竖直上抛运动的规律有：v0＝根据万有引力等于重力得GM月＝g月R月 2v0R月

联立得M月＝

2

2

g月t2

Gt(3)“嫦娥三号”绕月运行的轨道半径为r1＝R月＋h，由万有引力提供向心力得GM月m＝r12m?

?2π?2r

?1

?T′?

所以“嫦娥三号”绕月球运行的周期

3T′＝2π

(R月＋h)t。 2

2v0R月

(R月＋h)t 2

2v0R月

323gR2T22v0R月

答案：(1) (3)2π2 (2)

4πGt12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有

Gm2Gm2

F1＝2，F2＝2

R(2R)mv2

F1＋F2＝ ①

R运动星体的线速度v＝5GmR ② 2R2πR设周期为T，则有T＝ ③

v

T＝4π

R3。 ④ 5Gm

(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为

rR′＝2

⑤

cos 30°

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有

Gm2

F合＝22cos 30° ⑥

rF合＝m4π

2

T2R′ ⑦

12?1?由④⑤⑥⑦式得r＝??3R。 ?5?5GmR答案：(1) 4π

2R12?1R3? (2)??3R 5Gm?5?